Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı,

(2−x)⋅(x2−x−12)2x2−5x+6≥0 \frac{(2-x) \cdot (x^2 - x - 12)^2}{x^2 - 5x + 6} \ge 0

eşitsizliğini sağlayan en büyük 4 farklı xx tam sayısının toplamı kaçtır?
  1. A
    -2
  2. B
    2
  3. 4Cevap
  4. D
    7
  5. E
    10

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en büyük 4 farklı tam sayının toplamı 4'tür.
Eşitsizliğin çözüm kümesi analiz edildiğinde, sadeleşen x=2x = 2 kökü ve paydadaki x=3x = 3 kökü tanımsızlık nedeniyle kümeden atılmalıdır. Karesel ifadenin kökleri olan x=−3x = -3 ve x=4x = 4 çift katlı köklerdir. Yapılan işaret tablosuna göre çözüm kümesi (−∞,3)∖{2}∪{4}(-\infty, 3) \setminus \{2\} \cup \{4\} şeklinde belirlenir. Bu aralıktaki en büyük dört farklı tam sayı sırasıyla 44, 11, 00 ve −1-1 olup toplamları 44'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikte yer alan tüm çarpanların köklerini ve bu köklerin katlılık durumlarını (tek veya çift katlı kök) belirleyin.
Paydaki 2−x=0  ⟹  x=22-x = 0 \implies x=2 (tek katlı kök); (x2−x−12)2=0  ⟹  x=4(x^2-x-12)^2 = 0 \implies x=4 ve x=−3x=-3 (her ikisi de karesi alındığı için çift katlı kök). Paydadaki x2−5x+6=0  ⟹  (x−2)(x−3)=0  ⟹  x=2x^2-5x+6 = 0 \implies (x-2)(x-3)=0 \implies x=2 ve x=3x=3 (her ikisi de tek katlı kök) elde edilir.
İşaret tablosu oluşturabilmek için kritik noktaların tespit edilmesi gerekir.
2
Aynı kökten hem pay hem de paydada bulunup bulunmadığını kontrol ederek sadeleştirme veya katlılık durumunu güncelleyin ve tanımsızlık koşullarını belirleyin.
x=2x = 2 kökü hem pay hem de paydada mevcuttur. Eşitsizlikte paydada olduğu için x≠2x \neq 2 olmalıdır. x≠2x \neq 2 için 2−xx−2=−1\frac{2-x}{x-2} = -1 olup bu ifade işaret değiştirmeyen sabit bir çarpan gibi davranır. x=3x = 3 paydanın kökü olup x≠3x \neq 3 olmalıdır. x=4x = 4 ve x=−3x = -3 payın çift katlı kökleridir.
Paydanın kökleri çözüm kümesine dahil edilemez ve ortak kökler işaret tablosunu doğrudan etkiler.
3
İşaret tablosunu oluşturun ve eşitsizliğin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıkları ve noktaları belirleyin.
En sağdaki aralıkta (x>4x > 4) ifadenin işareti negatif (−-) ile başlar. İşaret tablosu sırasıyla: x>4  ⟹  −x > 4 \implies -; x=4x = 4 (çift katlı dahil)   ⟹  0\implies 0; 3<x<4  ⟹  −3 < x < 4 \implies -; x=3x = 3 (tek katlı hariç)   ⟹  \implies tanımsız; 2<x<3  ⟹  +2 < x < 3 \implies +; x=2x = 2 (sadeleşen tanımsız hariç)   ⟹  \implies tanımsız; −3<x<2  ⟹  +-3 < x < 2 \implies +; x=−3x = -3 (çift katlı dahil)   ⟹  0\implies 0; x<−3  ⟹  +x < -3 \implies + şeklindedir. Buradan çözüm kümesi S=(−∞,3)∖{2}∪{4}S = (-\infty, 3) \setminus \{2\} \cup \{4\} olarak elde edilir.
Eşitsizliğin sağlandığı aralıkları ve tek tek sağlayan kökleri doğru tespit etmek gerekir.
4
Çözüm kümesinde yer alan en büyük 4 farklı tam sayıyı bulun ve bunları toplayın.
Çözüm kümesindeki en büyük tam sayılar sırasıyla 44, 11 (çünkü 33 ve 22 tanımsız olduğundan hariçtir), 00 ve −1-1 şeklindedir. Bu sayıların toplamı 4+1+0+(−1)=44 + 1 + 0 + (-1) = 4 olur.
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak için en büyük tam sayıların doğru sıralanıp toplanması gerekir.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru