Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu için \int_{1}^{9} f(x) \, dx = 28 ve \int_{3}^{5} f(x) \, dx = 12\neşitlikleri veriliyor. Buna göre, \int_{1}^{9} \frac{f(\sqrt{2x+7})}{\sqrt{2x+7}} \, dx integralinin değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu için \int_{1}^{9} f(x) … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{1}^{9} f(x) \, dx = 28

\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 12

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{9} \frac{f(\sqrt{2x+7})}{\sqrt{2x+7}} \, dx

integralinin değeri kaçtır?

İntegralin değeri 12'dir.

Doğru cevap 12'dir.

u = \sqrt{2x+7}

dönüşümü yapıldığında diferansiyel

du = \frac{dx}{\sqrt{2x+7}}

olur. İntegralin sınırları güncellendiğinde alt sınır 3, üst sınır 5 olur. Bu durumda integral

\int_{3}^{5} f(u) \, du

haline gelir ve bu değer soruda 12 olarak verilmiştir.

İntegrali basitleştirmek amacıyla

u = \sqrt{2x+7}

değişken değiştirmesi uygulanır.

Diferansiyel alındığında

du = \frac{1}{2\sqrt{2x+7}} \cdot 2 \, dx \implies du = \frac{dx}{\sqrt{2x+7}}

elde edilir.

İntegral içindeki ifadeyi yeni değişken

u

cinsinden ifade edebilmek.

Belirli integralin sınırları yeni değişken

u

'ya göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 1 \implies u = \sqrt{2(1)+7} = 3

olur. Üst sınır için

x = 9 \implies u = \sqrt{2(9)+7} = 5

olur.

Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene uygun şekilde değiştirilmesi zorunludur.

Dönüşüm ve yeni sınırlar integralde yerine yazılır.

\int_{1}^{9} \frac{f(\sqrt{2x+7})}{\sqrt{2x+7}} \, dx = \int_{3}^{5} f(u) \, du

elde edilir. Soruda verilen

\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 12

eşitliğinden bu integralin değeri 12 olarak bulunur.

Elde edilen yeni integral ifadesinin değeri, soruda verilen belirli integral bilgisi kullanılarak hesaplanır.

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel hesabı ve integral sınırlarının güncellenmesi.

Tahmini Süre:2m 0s