Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
(x−1)2⋅(x2−4)x2−x−2≤0 \frac{(x - 1)^2 \cdot (x^2 - 4)}{x^2 - x - 2} \le 0 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı -1'dir.
Verilen rasyonel eşitsizlikte pay ve payda çarpanlarına ayrılıp sadeleştirildiğinde, x≠2x \neq 2 ve x≠−1x \neq -1 koşulları altında (x−1)2(x+2)x+1≤0\frac{(x - 1)^2(x + 2)}{x + 1} \le 0 eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizliğin kökleri x=−2x = -2, x=−1x = -1 ve çift katlı kök olan x=1x = 1 değerleridir. İşaret tablosu incelendiğinde, ifadenin negatif olduğu tek aralığın [−2,−1)[-2, -1) olduğu görülür. Ayrıca x=1x = 1 değeri ifadeyi sıfır yaptığı ve tanımlı olduğu için çözüm kümesine eklenir. Dolayısıyla çözüm kümesi [−2,−1)∪{1}[-2, -1) \cup \{1\} olur. Bu aralıktaki tam sayılar yalnızca −2-2 ve 11 değerleridir, toplamları ise −1-1 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydadaki polinom ifadelerini çarpanlarına ayırın.
Pay: (x−1)2(x−2)(x+2)(x - 1)^2(x - 2)(x + 2), Payda: (x−2)(x+1)(x - 2)(x + 1)
Eşitsizliğin köklerini bulmak ve sadeleşen terimleri belirlemek amacıyla çarpanlara ayırma yöntemi uygulanır.
2
Tanım kümesini belirlemek için paydayı sıfır yapan değerleri saptayın.
x≠2x \neq 2 ve x≠−1x \neq -1 olmalıdır.
Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tan��msız kılacağı için çözüm kümesine dahil edilemez.
3
Ortak terimleri sadeleştirerek kalan ifadenin köklerini ve bu köklerin katlılık durumlarını analiz edin.
Sadeleşmiş ifade: (x−1)2(x+2)x+1≤0\frac{(x - 1)^2(x + 2)}{x + 1} \le 0. Kökler: x=−2x = -2 (tek katlı), x=−1x = -1 (payda kökü, tek katlı), x=1x = 1 (çift katlı).
Sadeleşen (x−2)(x - 2) çarpanının kökü olan x=2x = 2 değeri eşitsizliği bozmaz fakat tanım kümesinden çıkarılmalıdır. Kalan köklerin katları işaret tablosundaki geçişleri belirler.
4
İşaret tablosu oluşturarak eşitsizliğin sağlandığı aralıkları bulun.
Çözüm kümesi: [−2,−1)∪{1}[-2, -1) \cup \{1\}
Eşitsizliği sıfırdan küçük veya eşit yapan xx değerlerini tespit etmek için işaret incelemesi yapılır. x=1x = 1 çift katlı kökü ifadeyi sıfır yaptığı için kümeye dahil edilir.
5
Çözüm kümesindeki tam sayıların değerlerini belirleyin ve toplayın.
Ç��züm kümesindeki tam sayılar −2-2 ve 11 olup, toplamları (−2)+1=−1(-2) + 1 = -1 bulunur.
Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamına ulaşmak için küme içindeki tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Rasyonel eşitsizliklerde sadeleştirme yapıldığında payda köklerinin tanım kümesi dışı bırakılması, çift katlı köklerde işaretin değişmemesi ve eşitlik durumunda payın köklerinin çözüm kümesine dahil edilmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru