x \in [0, \pi] olmak üzere, \sin(2x) - \sqrt{2}\cos(x) = 0 denkleminin farklı gerçel kökle… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x \in [0, \pi]

olmak üzere,

\sin(2x) - \sqrt{2}\cos(x) = 0

denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?

Cevap: 3

Denkleminin

[0, \pi]

aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.

Verilen denklem yarım açı formülü yardımıyla çarpanlarına ayrıldığında kosinüsü sıfır veya sinüsü kök iki bölü iki olan değerler aranır.

[0, \pi]

aralğında bu şartları sağlayan üç farklı gerçel sayı değeri mevcuttur.

Yarım açı formülü kullanılarak denklem düzenlenir.

2\sin(x)\cos(x) - \sqrt{2}\cos(x) = 0

\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)

yarım açı özdeşliğini denklemde yerine koyarak ortak çarpan parantezine alabilmek için.

Denklem ortak çarpan parantezine alınır.

\cos(x)(2\sin(x) - \sqrt{2}) = 0

Çarpım durumundaki ifadenin sıfıra eşit olması için çarpanların ayrı ayrı sıfıra eşitlenmesi gerekir.

Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek kökler bulunur.

\cos(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}

\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4}

veya

x = \frac{3\pi}{4}

[0, \pi]

aralığındaki kosinüsü sıfır ve sinüsü

\frac{\sqrt{2}}{2}

olan değerleri belirlemek için.

Köklerin aralıkta olup olmadığı kontrol edilir ve toplam kök sayısı bulunur.

x_1 = \frac{\pi}{4}, x_2 = \frac{\pi}{2}, x_3 = \frac{3\pi}{4}

olmak üzere 3 farklı gerçel kök vardır.

Bulunan tüm köklerin verilen

[0, \pi]

aralığına ait ve birbirinden farklı olduğunu doğrulamak için.

Trigonometrik denklemlerin yarım açı formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemiyle çözülmesi ve belirli bir aralıktaki kök sayısının belirlenmesi.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru