Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12f(x) dx=2\int_1^2 f(x) \, dx = 2
∫23f(x) dx=6\int_2^3 f(x) \, dx = 6
∫35f(x) dx=10\int_3^5 f(x) \, dx = 10
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫23f(2x−3) dx+∫24f(x−1) dx\int_2^3 f(2x-3) \, dx + \int_2^4 f(x-1) \, dx
toplamının değeri kaçtır?
  1. A
    11
  2. B
    14
  3. 12Cevap
  4. D
    16
  5. E
    18

Cevap

İntegrallerin doğru dönüşümlerle hesaplanıp toplanması sonucu elde edilen 12 değeri doğru cevaptır.
İlk integralde u=2x−3u = 2x-3 dönüşümüyle sınırlar 11 ve 33 olur, diferansiyelden gelen 1/21/2 çarpanıyla integral değeri 44 bulunur. İkinci integralde v=x−1v = x-1 dönüşümüyle sınırlar 11 ve 33 olur ve integral değeri 88 bulunur. Bu iki değerin toplamı 12 yapmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci integral olan ∫23f(2x−3) dx\int_2^3 f(2x-3) \, dx için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
u=2x−3u = 2x-3 dönüşümü yapıldığında du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar ise x=2x=2 için u=1u=1 ve x=3x=3 için u=3u=3 olarak güncellenir. Böylece integral 12∫13f(u) du\frac{1}{2} \int_1^3 f(u) \, du şeklini alır.
Belirli integralde değişken değiştirme kuralı uygulanırken diferansiyel ve sınırların yeni değişkene göre dönüştürülmesi zorunludur.
2
Elde edilen birinci integral, verilen integral değerleri ve belirli integralin aralık bölme özelliği kullanılarak hesaplanır.
12∫13f(u) du=12(∫12f(x) dx+∫23f(x) dx)=12(2+6)=4\frac{1}{2} \int_1^3 f(u) \, du = \frac{1}{2} \left( \int_1^2 f(x) \, dx + \int_2^3 f(x) \, dx \right) = \frac{1}{2} (2 + 6) = 4 bulunur.
İntegral sınırları [1,3][1, 3] aralığında olduğu için bu aralık verilen [1,2][1, 2] ve [2,3][2, 3] aralıklarına bölünerek hesaplanır.
3
İkinci integral olan ∫24f(x−1) dx\int_2^4 f(x-1) \, dx için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
v=x−1v = x-1 dönüşümü yapıldığında dv=dxdv = dx olur. Sınırlar ise x=2x=2 için v=1v=1 ve x=4x=4 için v=3v=3 olarak güncellenir. Böylece integral ∫13f(v) dv\int_1^3 f(v) \, dv şeklini alır.
Yatay öteleme özelliği gereği integral sınırları fonksiyonun tanım kümesindeki kayma miktarı kadar sola ötelenir.
4
İkinci integral hesaplanır ve bulunan iki integral değeri toplanarak sonuca ulaşılır.
I2=∫13f(v) dv=∫12f(x) dx+∫23f(x) dx=2+6=8I_2 = \int_1^3 f(v) \, dv = \int_1^2 f(x) \, dx + \int_2^3 f(x) \, dx = 2 + 6 = 8 bulunur. Toplam değer ise 4+8=124 + 8 = 12 olarak elde edilir.
Her iki integralin de sayısal değerleri bulunduktan sonra toplama işlemi gerçekleştirilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi ile integralin aralık bölme özelliği.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru