Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Denklemler
x∈[0,3π2]x \in \left[0, \frac{3\pi}{2}\right] olmak üzere, cos⁡(2x)+sin⁡(x)=0\cos(2x) + \sin(x) = 0 denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.

Cevap: Cevap

Cevap

İfade yanlıştır. Denkleminin verilen aralıktaki farklı gerçel köklerinin sayısı 3 değil, 2'dir.
Verilen ifade yanlıştır çünkü denklemin sin⁡(x)=−1/2\sin(x) = -1/2 eşitliğinden gelen iki kökünden biri olan x=11π6x = \frac{11\pi}{6} açısı [0,3π2]\left[0, \frac{3\pi}{2}\right] aralığının dışında kalır. Bu nedenle aralıktaki gerçek kök sayısı 3 değil, 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
cos⁡(2x)\cos(2x) yerine yarım açı formülü olan 1−2sin⁡2(x)1 - 2\sin^2(x) ifadesini yazarak denklemi tek değişkenli hale getirin.
1−2sin⁡2(x)+sin⁡(x)=0⇒2sin⁡2(x)−sin⁡(x)−1=01 - 2\sin^2(x) + \sin(x) = 0 \Rightarrow 2\sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0
İkinci dereceden bir denklem yapısı elde ederek çarpanlara ayırma yöntemini uygulayabilmek.
2
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak sin⁡(x)\sin(x) için olası değerleri bulun.
(2sin⁡(x)+1)(sin⁡(x)−1)=0⇒sin⁡(x)=1 veya sin⁡(x)=−1/2(2\sin(x) + 1)(\sin(x) - 1) = 0 \Rightarrow \sin(x) = 1 \text{ veya } \sin(x) = -1/2
Çarpımın sonucunun sıfır olabilmesi için çarpanlardan en az birinin sıfıra eşit olması gerekir.
3
sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 denkleminin verilen [0,3π2]\left[0, \frac{3\pi}{2}\right] aralığındaki kökünü bulun.
x=π2x = \frac{\pi}{2}
Verilen aralıkta sinüs değeri 1 olan tek açı π2\frac{\pi}{2} radyandır.
4
sin⁡(x)=−1/2\sin(x) = -1/2 denkleminin [0,2π]\left[0, 2\pi\right] aralığındaki genel köklerini belirleyin ve hangilerinin verilen [0,3π2]\left[0, \frac{3\pi}{2}\right] aralığının içinde kaldığını denetleyin.
x1=7π6x_1 = \frac{7\pi}{6} (aralıkta) ve x2=11π6x_2 = \frac{11\pi}{6} (aralık dışında)
3π2=9π6\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6} olduğundan, x2=11π6x_2 = \frac{11\pi}{6} kökü 3π2\frac{3\pi}{2} üst sınırını aşar ve bu nedenle çözüm kümesine alınmaz.
5
Aralığa dahil olan kökleri bir araya getirerek denklemin toplam kök sayısını tespit edin.
Çözüm kümesi C\c={π2,7π6}Ç = \left\{\frac{\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}\right\} olup denklemin 2 farklı gerçel kökü vardır.
Tanımlı aralık içerisindeki geçerli köklerin sayılması gerekir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde yarım açı formülleri yardımıyla ikinci dereceden denklemlere dönüşüm yapılması ve köklerin verilen sınırlı bir aralığa göre elenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru