Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡∣x−2∣−1(x2−4x−12x2−9)f(x) = \log_{|x - 2| - 1}\left(\frac{x^2 - 4x - 12}{x^2 - 9}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde bulunmayan tam sayıların toplamı kaçtır?

  1. A
    12
  2. B
    14
  3. 16Cevap
  4. D
    18
  5. E
    20

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesinde bulunmayan tam sayıların toplamı 16'dır.
Doğru yanıt 16 değeridir. Logaritma tanımı gereği, taban ifadesi sıfırdan büyük ve 1'den farklı, logaritması alınan rasyonel ifade ise sıfırdan büyük olmalıdır. Bu koşulların ortak kesişim kümesi olan (−∞,−3)∪(−2,0)∪(0,1)∪(6,∞)(-\infty, -3) \cup (-2, 0) \cup (0, 1) \cup (6, \infty) kümesinin dışında kalan tam sayılar -3, -2, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 olup, bu sayıların toplamı 16'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanın tanımlı olma koşullarını belirleyelim.
∣x−2∣−1>0|x - 2| - 1 > 0 ve ∣x−2∣−1≠1|x - 2| - 1 \neq 1 olmalıdır.
İlk olarak, ∣x−2∣>1  ⟹  x−2>1|x - 2| > 1 \implies x - 2 > 1 veya x−2<−1  ⟹  x>3x - 2 < -1 \implies x > 3 veya x<1x < 1 bulunur.
İkinci olarak, ∣x−2∣≠2  ⟹  x−2≠2|x - 2| \neq 2 \implies x - 2 \neq 2 ve x−2≠−2  ⟹  x≠4x - 2 \neq -2 \implies x \neq 4 ve x≠0x \neq 0 bulunur.
Böylece taban koşulu: x∈(−∞,1)∪(3,∞)∖{0,4}x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty) \setminus \{0, 4\} olur.
Logaritma tabanı pozitif ve 1'den farklı olmak zorundadır.
2
Logaritması alınan rasyonel ifadenin pozitif olma koşulunu inceleyelim.
x2−4x−12x2−9>0  ⟹  (x−6)(x+2)(x−3)(x+3)>0\frac{x^2 - 4x - 12}{x^2 - 9} > 0 \implies \frac{(x - 6)(x + 2)}{(x - 3)(x + 3)} > 0 eşitsizliğini çözmek için kökleri bulup işaret tablosu yapalım.
Kökler: x=−3,−2,3,6x = -3, -2, 3, 6.
İşaret tablosu incelendiğinde ifadenin pozitif olduğu aralıklar: x∈(−∞,−3)∪(−2,3)∪(6,∞)x \in (-\infty, -3) \cup (-2, 3) \cup (6, \infty) olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için logaritması alınan ifadenin pozitif olması gerekir.
3
İki koşulun kesişimini alarak en geniş tanım kümesini bulalım.
Taban koşulu ile iç kısmın pozitiflik koşulunu kesiştirdiğimizde:
- (−∞,−3)(-\infty, -3) aralığı taban koşulunu sağlar.
- (−2,3)(-2, 3) aralığı ile ((−∞,1)∪(3,∞))((-\infty, 1) \cup (3, \infty)) kesişimi (−2,1)(-2, 1) olur, bu aralıktan x=0x = 0 çıkarılmalıdır. Yani (−2,0)∪(0,1)(-2, 0) \cup (0, 1) elde edilir.
- (6,∞)(6, \infty) aralığı taban koşulunu sağlar.
Böylece en geniş tanım kümesi: D=(−∞,−3)∪(−2,0)∪(0,1)∪(6,∞)D = (-\infty, -3) \cup (-2, 0) \cup (0, 1) \cup (6, \infty) olur.
Fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş küme, her iki şartın da sağlandığı ortak kümedir.
4
Tanım kümesinde bulunmayan tam sayıları tespit edip toplayalım.
Tanım kümesi DD dışında kalan tam sayılar şunlardır:
- x≤−3x \le -3 aralığının sınır değeri olan −3-3,
- −3<x<−2-3 < x < -2 aralığı tanım kümesinde olmadığından sınır değer olan −2-2,
- Çıkarılan 00 değeri,
- Taban tanımından dolayı kümede olmayan 1,21, 2 değerleri,
- İç kısmın negatif olduğu [3,6][3, 6] aralığındaki tam sayılar: 3,5,63, 5, 6,
- Tabanın 1 olmasını engellemek için çıkarılan 44 değeri.
Bu değerler kümesi {−3,−2,0,1,2,3,4,5,6}\{-3, -2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} şeklindedir.
Toplamları: (−3)+(−2)+0+1+2+3+4+5+6=16(-3) + (-2) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 16 bulunur.
Tanım kümesinde yer almayan tam sayıları doğru belirlemek için eşitsizliklerin sınır değerleri ve çıkarılan tekil noktalar dikkatle incelenir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken taban b>0b > 0, b≠1b \neq 1 ve iç kısım f(x)>0f(x) > 0 koşullarının hepsi birlikte sağlanmalıdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi