f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere, \int_{1}^{2} f(x) \, dx = 6 \int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12 \neşitlikleri veriliyor. Buna göre, \int_{1}^{2} f(3x - 1) \, dx integralinin değeri kaçtır?

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere, \int_{1}^{2} f(x) … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sürekli bir fonksiyon olmak üzere,

\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 6

\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{2} f(3x - 1) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Değeri 4 olan seçenek doğrudur.

Doğru cevap 4 değerini içeren seçenektir.

u = 3x - 1

dönüşümü yapıldığında diferansiyelden gelen

\frac{1}{3}

katsayısı ve sınırların

2

ile

5

olarak güncellenmesiyle integral

\frac{1}{3} \int_{2}^{5} f(u) \, du

haline gelir. Bu ifade, verilen ikinci integralin

\frac{1}{3}

katına eşittir ve sonucu 4 yapar.

İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır:

u = 3x - 1

dönüşümü yapılır.

Bu dönüşümün her iki tarafının diferansiyeli alındığında

du = 3 \, dx

elde edilir. Buradan

dx = \frac{1}{3} \, du

bulunur.

İntegral değişkenini x'ten u'ya çevirmek için diferansiyeller arasındaki ilişki kurulmalıdır.

Belirli integralin sınırları yeni değişken olan u değerlerine göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 1 \Rightarrow u = 3(1) - 1 = 2

olur. Üst sınır için

x = 2 \Rightarrow u = 3(2) - 1 = 5

olur.

Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.

Elde edilen yeni integral ifadesi yazılır ve verilen değer yerine konularak hesaplama tamamlanır.

\int_{1}^{2} f(3x - 1) \, dx = \int_{2}^{5} f(u) \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int_{2}^{5} f(u) \, du

elde edilir. Soruda verilen

\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12

değeri yerine yazıldığında sonuç

\frac{1}{3} \cdot 12 = 4

olarak bulunur.

Yeni integralin değeri, sınırları güncellenmiş ve diferansiyel katsayısı eklenmiş haliyle hesaplanır.

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi

Tahmini Süre:1m 30s