[0, 4] kapalı aralığında sürekli olan bir f fonksiyonu için \int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 6 \int_{1}^{3} f(x+1) \, dx = 8 \neşitlikleri sağlanmaktadır. Buna göre, \int_{0}^{1} \big(3f(2x) + 4x^3\big) \, dx integralinin değeri kaçtır?

[0, 4] kapalı aralığında sürekli olan bir f fonksiyonu için \int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 6 \… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$[0, 4]$ kapalı aralığında sürekli olan bir $f$ fonksiyonu için

\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 6

\int_{1}^{3} f(x+1) \, dx = 8

eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre,

\int_{0}^{1} \big(3f(2x) + 4x^3\big) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevap: 7

İstenen integralin değeri 7 olarak bulunur.

Değişken değiştirme kuralları ve integralin aralık bölme özelliği doğru uygulandığında,

[0,2]

aralığındaki belirli integral değeri 4 olarak bulunur. İstenen integralde de benzer şekilde

w=2x

değişken değiştirmesi yapıldığında integralin değeri 7 olarak hesaplanır.

İlk integralde değişken değiştirme uygulamak

\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 12

\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 6

integralinde

u = 2x

dönüşümü yapıldığında

du = 2\,dx

olur. Sınırlar

x = 0 \implies u = 0

x = 2 \implies u = 4

şeklinde güncellenir. Buradan

\frac{1}{2} \int_{0}^{4} f(u) \, du = 6

elde edilir.

İkinci integralde değişken değiştirme uygulamak

\int_{2}^{4} f(x) \, dx = 8

\int_{1}^{3} f(x+1) \, dx = 8

integralinde

v = x+1

dönüşümü yapıldığında

dv = dx

olur. Sınırlar

x = 1 \implies v = 2

x = 3 \implies v = 4

şeklinde güncellenir.

Belirli integralin sınırları parçalama özelliğini kullanmak

\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 4

\int_{0}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + \int_{2}^{4} f(x) \, dx

özelliğinden yararlanarak bilinen değerler yerine yazılır:

12 = \int_{0}^{2} f(x) \, dx + 8

denkleminden aranan değer bulunur.

İstenen integrali parçalara ayırarak hesaplamak

7

\int_{0}^{1} \big(3f(2x) + 4x^3\big) \, dx = 3 \int_{0}^{1} f(2x) \, dx + \int_{0}^{1} 4x^3 \, dx

şeklinde yazılır. İlk kısım için

w = 2x

dönüşümüyle

3 \cdot \left(\frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(w) \, dw\right) = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6

elde edilir. İkinci kısım ise

\left[ x^4 \right]_0^1 = 1

olur. Bu iki değer toplanarak sonuca ulaşılır.

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve integrasyon sınırlarının güncellenmesi ile belirli integralin aralık bölme özelliği.