Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Denklemler
x∈[0,π]x \in [0, \pi] olmak üzere,
3sin⁡(2x)+cos⁡(2x)=1\sqrt{3}\sin(2x) + \cos(2x) = 1
denkleminin farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?

Cevap: 3

Cevap

Verilen denklemin bu aralıktaki farklı gerçel köklerinin sayısı 3'tür.
Denklem sadeleştirildiğinde cos⁡(2x−π3)=12\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} haline gelir. Bu denklemin [0,π][0, \pi] aralığındaki çözümleri 00, π3\frac{\pi}{3} ve π\pi değerleridir. Dolayısıyla kök sayısı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin her iki tarafını 2'ye bölün.
32sin⁡(2x)+12cos⁡(2x)=12\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) + \frac{1}{2}\cos(2x) = \frac{1}{2}
Sol taraftaki ifadeyi kosinüs fark formülüne dönüştürmek amacıyla uygun katsayıları elde etmek.
2
sin⁡(π3)=32\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} ve cos⁡(π3)=12\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} değerlerini yerlerine yazarak kosin��s fark formülünü uygulayın.
cos⁡(2x)cos⁡(π3)+sin⁡(2x)sin⁡(π3)=12  ⟹  cos⁡(2x−π3)=12\cos(2x)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin(2x)\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \implies \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}
cos⁡(a−b)=cos⁡(a)cos⁡(b)+sin⁡(a)sin⁡(b)\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b) özdeşliğinden faydalanarak ifadeyi tek bir fonksiyona indirgemek.
3
cos⁡(2x−π3)=12\cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} denkleminin genel çözümlerini yazın.
2x−π3=π3+2kπ  ⟹  2x=2π3+2kπ  ⟹  x=π3+kπ2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \implies 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{3} + k\pi
veya
2x−π3=−π3+2kπ  ⟹  2x=2kπ  ⟹  x=kπ2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \implies 2x = 2k\pi \implies x = k\pi
(burada k∈Zk \in \mathbb{Z})
cos⁡(θ)=cos⁡(α)\cos(\theta) = \cos(\alpha) denkleminin çözüm kümesinin periyodik yapısını uygulamak.
4
x∈[0,π]x \in [0, \pi] aralığına uyan kökleri seçin.
x=π3+kπx = \frac{\pi}{3} + k\pi çözümünden k=0  ⟹  x=π3k = 0 \implies x = \frac{\pi}{3}.
x=kπx = k\pi çözümünden k=0  ⟹  x=0k = 0 \implies x = 0 ve k=1  ⟹  x=πk = 1 \implies x = \pi.
Sadece belirtilen kapalı aralığa düşen gerçel sayı çözümlerini filtrelemek.
5
Elde edilen farklı köklerin sayısını belirleyin.
Kökler: 00, π3\frac{\pi}{3} ve π\pi olmak üzere toplam 3 tanedir.
Aralıktaki tüm farklı çözümlerin sayısını netleştirmek.

Anahtar Kavram

Lineer trigonometrik denklemlerin yardımcı açılar yardımıyla tek bir fonksiyona dönüştürülerek çözülmesi ve belirli bir aralıktaki kök sayısının bulunması.
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru