Gerçek sayılar kümesinde tanımlı \frac{(x^2 - 2x - 3) \cdot (x^2 - 4)^2}{(x^2 - x - 2) \cdot (x^2 - 9)} \le 0 \neşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı \frac{(x^2 - 2x - 3) \cdot (x^2 - 4)^2}{(x^2 - x - 2) \cd… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

\frac{(x^2 - 2x - 3) \cdot (x^2 - 4)^2}{(x^2 - x - 2) \cdot (x^2 - 9)} \le 0

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı -1'dir.

Çarpanlarına ayrılmış eşitsizlikte sadeleştirmeler yapıldıktan sonra elde edilen

\frac{(x-2)(x+2)^2}{x+3} \le 0

ifadesinde kökler

x = -3

x = -2

(çift katlı) ve

x = 2

olarak bulunur. İşaret tablosuna göre eşitsizliği sağlayan aralık

(-3, 2]

aralığıdır. Ancak ilk ifadede paydayı sıfır yapan

x = -1

x = 2

x = 3

değerleri tanımsızlık oluşturduğundan çözüm kümesinden çıkarılmalıdır. Buradan çözüm kümesi

S = (-3, 2) \setminus \{-1\}

olur. Bu kümedeki tam sayılar

-2

0

1

olup toplamları

-1

değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

Eşitsizlikteki tüm ifadeleri çarpanlarına ayırın.

\frac{(x-3)(x+1)(x-2)^2(x+2)^2}{(x-2)(x+1)(x-3)(x+3)} \le 0

Ortak çarpanları ve kökleri belirleyebilmek için.

Paydayı sıfır yapan (tanımsızlık oluşturan)

x

değerlerini belirleyin.

x \neq -3

x \neq -1

x \neq 2

x \neq 3

Rasyonel ifadelerde payda sıfır olamayacağı için bu değerler çözüm k��mesine dahil edilemez.

Eşitsizlikteki ortak çarpanları sadeleştirin.

\frac{(x-2)(x+2)^2}{x+3} \le 0

(burada

x \notin \{-3, -1, 2, 3\}

)

İşaret incelemesini daha basit bir ifade üzerinden gerçekleştirmek için.

Sadeleşmiş ifadenin köklerini bulup işaret tablosunu hazırlayın.

Kökler:

x = -3

(tek katlı payda kökü),

x = -2

(çift katlı pay kökü),

x = 2

(tek katlı pay kökü). İşaretler en sağdan sola doğru sırasıyla:

(2, \infty) \rightarrow (+)

(-2, 2) \rightarrow (-)

(-3, -2) \rightarrow (-)

(-\infty, -3) \rightarrow (+)

şeklindedir.

Eşitsizliğin sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olduğu bölgeleri tespit etmek için.

İşaret tablosunu ve payda kısıtlamalarını birleştirerek çözüm kümesini oluşturun.

Çözüm kümesi:

S = (-3, 2) \setminus \{-1\}

Tablodaki negatif ve sıfır yapan bölgeler alınır (

(-3, 2]

); ancak payda kökleri olan

x = -1

x = 2

bu kümeden çıkarılır.

Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını hesaplayın.

x \in \{-2, 0, 1\} \implies (-2) + 0 + 1 = -1

Soruda istenen sonucu elde etmek için.

Anahtar Kavram

Rasyonel eşitsizliklerin çözümünde ortak çarpanların sadeleştirilmesi durumunda payda köklerinin tanımsızlık oluşturması nedeniyle çözüm kümesinden çıkarılması ve çift katlı köklerin işaret tablosundaki etkisi.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru