Examkin

Soru

Zorluk: KolayBelirli İntegral ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫13f(x) dx=6\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6
∫35f(x) dx=10\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 10
olduğuna göre,
∫24f(x−1) dx\int_{2}^{4} f(x-1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    4
  2. 6Cevap
  3. C
    8
  4. D
    10
  5. E
    16

Cevap

Değeri 6 olan seçenek doğrudur.
İntegral içindeki ifadeye u=x−1u = x-1 dönüşümü uygulandığında du=dxdu = dx olur. Sınırlar ise x=2x=2 için u=1u=1 ve x=4x=4 için u=3u=3 olarak güncellenir. Böylece integral ∫13f(u) du\int_{1}^{3} f(u) \, du haline gelir. Bu integral soruda verilen ∫13f(x) dx=6\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6 ifadesine eşit olduğundan cevap 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
u=x−1u = x - 1 değişken değiştirmesi yapılır.
du=dxdu = dx elde edilir.
İntegral içindeki f(x−1)f(x-1) ifadesini f(u)f(u) biçimine getirip sadeleştirmek amacıyla değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
Belirli integralin sınırları yeni uu değişkenine göre güncellenir.
Alt sınır için x=2⇒u=2−1=1x = 2 \Rightarrow u = 2 - 1 = 1 olur. Üst sınır için x=4⇒u=4−1=3x = 4 \Rightarrow u = 4 - 1 = 3 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde, integral sınırlarının da yeni değişkene göre hesaplanması zorunludur.
3
İntegral yeni sınırlar ve değişken cinsinden tekrar yazılarak hesaplanır.
∫24f(x−1) dx=∫13f(u) du\int_{2}^{4} f(x-1) \, dx = \int_{1}^{3} f(u) \, du elde edilir. Soruda ∫13f(x) dx=6\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6 olarak verildiğinden, bu integralin değeri 6'dır.
Belirli integralde değişkenin adının değiştirilmesi (uu yerine xx yazılması) integralin değerini değiştirmez.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi.
Tahmini Süre:50s
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru