Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTrigonometrik Denklemler
sin⁡(3x)+cos⁡(3x)+2cos⁡(2x)=0\sin(3x) + \cos(3x) + \sqrt{2}\cos(2x) = 0 denkleminin [0,2π][0, 2\pi] kapalı aralığındaki tüm farklı gerçel köklerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    21π4\frac{21\pi}{4}
  2. B
    9π2\frac{9\pi}{2}
  3. 13π2\frac{13\pi}{2}Cevap
  4. D
    13π4\frac{13\pi}{4}
  5. E
    11π2\frac{11\pi}{2}

Cevap

Tüm köklerin toplamı olan 13π2\frac{13\pi}{2} ifadesi
Denklemin çözümü için yapılan dönüşümler sonucunda [0,2π][0, 2\pi] aralığında toplam 6 adet farklı kök bulunur. Bu köklerin toplamı 13π2\frac{13\pi}{2} değerine eşit olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Yardımcı açı formülünü kullanarak sin⁡(3x)+cos⁡(3x)\sin(3x) + \cos(3x) ifadesini tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazarız.
sin⁡(3x)+cos⁡(3x)=2(12sin⁡(3x)+12cos⁡(3x))=2sin⁡(3x+π4)\sin(3x) + \cos(3x) = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(3x) + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(3x)\right) = \sqrt{2}\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) elde edilir.
Denklemin sol tarafındaki iki terimi tek bir terime indirgeyerek cos⁡(2x)\cos(2x) ile karşılaştırılabilir hale getirmek için.
2
Elde edilen bu ifadeyi orijinal denklemde yerine yazarız ve sadeleştirme yaparız.
2sin⁡(3x+π4)+2cos⁡(2x)=0  ⟹  sin⁡(3x+π4)=−cos⁡(2x)\sqrt{2}\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{2}\cos(2x) = 0 \implies \sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos(2x) elde edilir.
Denklemi çözebilmek adına ortak çarpan olan 2\sqrt{2} teriminden kurtulmak ve fonksiyonları yalnız bırakmak için.
3
−cos⁡(2x)-\cos(2x) ifadesini sinüs cinsine dönüştürürüz.
−cos⁡(2x)=sin⁡(2x−π2)-\cos(2x) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) özdeşliğini kullanarak denklem sin⁡(3x+π4)=sin⁡(2x−π2)\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) formuna getirilir.
Denklemin her iki yanını da aynı trigonometrik fonksiyon (sinüs) cinsinden ifade edip genel çözüm kurallarını uygulayabilmek için.
4
Sinüs fonksiyonunun genel çözüm kuralını (A=B+2kπA = B + 2k\pi veya A=π−B+2kπA = \pi - B + 2k\pi) uygularız.
1. Durum: 3x+π4=2x−π2+2kπ  ⟹  x=−3π4+2kπ3x + \frac{\pi}{4} = 2x - \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi
2. Durum: 3x+π4=π−(2x−π2)+2kπ  ⟹  5x=5π4+2kπ  ⟹  x=π4+2kπ53x + \frac{\pi}{4} = \pi - \left(2x - \frac{\pi}{2}\right) + 2k\pi \implies 5x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{2k\pi}{5} (k∈Zk \in \mathbb{Z}) elde edilir.
Trigonometrik denklemin tüm olası kök ailelerini belirlemek için.
5
Her iki çözüm ailesinden [0,2π][0, 2\pi] kapalı aralığına düşen kökleri tek tek belirleriz.
1. Durumdan: k=1k = 1 için x=5π4x = \frac{5\pi}{4} bulunur.
2. Durumdan:
- k=0  ⟹  x=π4k = 0 \implies x = \frac{\pi}{4}
- k=1  ⟹  x=13π20k = 1 \implies x = \frac{13\pi}{20}
- k=2  ⟹  x=21π20k = 2 \implies x = \frac{21\pi}{20}
- k=3  ⟹  x=29π20k = 3 \implies x = \frac{29\pi}{20}
- k=4  ⟹  x=37π20k = 4 \implies x = \frac{37\pi}{20} bulunur.
Toplamda 6 adet benzersiz kök elde edilir: {π4,13π20,21π20,5π4,29π20,37π20}\left\{\frac{\pi}{4}, \frac{13\pi}{20}, \frac{21\pi}{20}, \frac{5\pi}{4}, \frac{29\pi}{20}, \frac{37\pi}{20}\right\}.
Belirlenen aralıktaki tüm gerçel kökleri saptamak için.
6
Bulunan tüm köklerin toplamını hesaplarız.
Toplam=5π20+13π20+21π20+25π20+29π20+37π20=130π20=13π2\text{Toplam} = \frac{5\pi}{20} + \frac{13\pi}{20} + \frac{21\pi}{20} + \frac{25\pi}{20} + \frac{29\pi}{20} + \frac{37\pi}{20} = \frac{130\pi}{20} = \frac{13\pi}{2} olarak bulunur.
Soruda istenen nihai toplam değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin yardımcı açı dönüşümü ve yarım açı formülleri kullanılarak çözülmesi
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru