Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(1) = 2 f(… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

f(1) = 2

f(3) = 6

olarak veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{\sqrt{3}} x \cdot f'(x^2) \cdot f(x^2) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Verilen belirli integralde sırasıyla

u = x^2

v = f(u)

dönüşümleri yapıldığında integral sınırları sırasıyla

[1, 3]

[2, 6]

olarak güncellenir. Bu adımlarla integral

\frac{1}{2} \int_{2}^{6} v \, dv

biçimine dönüşür ve integralin değeri 8 olarak hesaplanır.

İlk değişken değiştirme dönüşümünü tanımlayınız.

u = x^2

dönüşümü yapılırsa, her iki tarafın diferansiyeli alındığında

du = 2x \, dx

elde edilir. Buradan

x \, dx = \frac{du}{2}

olur.

İntegral içindeki ifadeleri basitleştirmek ve x değişkeninden kurtulmak amacıyla bu substitution yapılır.

Belirli integral sınırlarını birinci değişkene göre güncelleyiniz.

Alt sınır için

x = 1 \implies u = 1^2 = 1

olur. Üst sınır için

x = \sqrt{3} \implies u = (\sqrt{3})^2 = 3

olur. İntegral bu aşamada

\int_{1}^{3} f'(u) \cdot f(u) \cdot \frac{du}{2}

biçimine gelir.

Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da o değişkene göre güncellenmesi zorunludur.

İkinci değişken değiştirme adımını uygulayınız.

v = f(u)

dönüşümü yapılırsa, diferansiyel

dv = f'(u) \, du

olur. Sınırlar ise alt sınır için

u = 1 \implies v = f(1) = 2

ve üst sınır için

u = 3 \implies v = f(3) = 6

şeklinde güncellenir. Yeni integral

\frac{1}{2} \int_{2}^{6} v \, dv

olur.

f(u) ve f'(u) çarpımını integrali alınabilir temel bir fonksiyona dönüştürmek için.

Belirli integrali hesaplayarak nihai sonuca ulaşınız.

\frac{1}{2} \left[ \frac{v^2}{2} \right]_{2}^{6} = \frac{1}{4} (6^2 - 2^2) = \frac{1}{4} (36 - 4) = \frac{32}{4} = 8

bulunur.

İntegral alma kuralı uygulanarak belirli integralin sayısal değeri hesaplanır.

Belirli integralde ardışık değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru