Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı
f(x)=∣x−3∣+{2x−1,x<3x2−a,x≥3f(x) = |x - 3| + \begin{cases} 2x - 1, & x < 3 \\ x^2 - a, & x \geq 3 \end{cases}
fonksiyonunun x=3x = 3 noktasında limitinin var olması için aa parametresinin alması gereken değerin 44 olduğu yönündeki iddia doğru mudur?

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen iddia doğrudur. Fonksiyonun x=3x = 3 noktasındaki sağdan ve soldan limitlerinin eşit olması için aa parametresinin 44 olması gerekir.
Verilen fonksiyonun x=3x=3 noktasında limitinin bulunabilmesi için sağdan limit olan 9−a9-a değerinin, soldan limit olan 55 değerine eşit olması zorunludur. Buradan 9−a=5  ⟹  a=49-a=5 \implies a=4 elde edildiğinden iddia doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Soldan limitin hesaplanması
lim⁡x→3−f(x)=lim⁡x→3−(∣x−3∣+2x−1)=∣3−3∣+2(3)−1=0+5=5\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (|x - 3| + 2x - 1) = |3 - 3| + 2(3) - 1 = 0 + 5 = 5
x→3−x \to 3^- için x<3x < 3 olduğundan parçalı fonksiyonun ilk dalı olan 2x−12x - 1 ifadesi kullanılır ve mutlak değerin içi sıfıra yaklaşır.
2
Sağdan limitin hesaplanması
lim⁡x→3+f(x)=lim⁡x→3+(∣x−3∣+x2−a)=∣3−3∣+32−a=0+9−a=9−a\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (|x - 3| + x^2 - a) = |3 - 3| + 3^2 - a = 0 + 9 - a = 9 - a
x→3+x \to 3^+ için x>3x > 3 olduğundan parçalı fonksiyonun ikinci dalı olan x2−ax^2 - a ifadesi kullanılır.
3
Limitlerin eşitlenerek parametrenin bulunması
9−a=5  ⟹  a=49 - a = 5 \implies a = 4
x=3x = 3 kritik noktasında limitin var olması için sağdan ve soldan limit değerlerinin birbirine eşit olması şarttır.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer fonksiyonlarının sınır (kritik) noktasındaki limit varlığının sağdan ve soldan limit eşitliği kullan��larak incelenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

Bu konudan daha fazla soru