Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ve Özellikleri

Tüm gerçel sayılarda sürekli olan bir ff fonksiyonu

f(x)={3x2+1,x<12x+a,x≥1f(x) = \begin{cases} 3x^2 + 1, & x < 1 \\ 2x + a, & x \ge 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre,

∫−12f(∣x∣) dx\int_{-1}^{2} f(|x|) \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Cevap: 9

Cevap

Sürekli fonksiyonun kuralları ve mutlak değer özelliği kullan��larak hesaplanan belirli integralin değeri 9'dur.
Fonksiyonun sürekliliği kullanılarak a = 2 bulunur. Mutlak değer tanımından dolayı integral [-1, 0] ve [0, 2] aralıklarına bölünür. Bu aralıklarda fonksiyonun ilgili kuralları uygulanarak elde edilen integral değerleri toplanır ve doğru sonuç 9 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonun x=1x = 1 noktasındaki sürekliliğini kullanarak aa sabitini bulunuz.
a=2a = 2
ff fonksiyonu tüm gerçel sayılarda sürekli olduğundan x=1x = 1 kritik noktasında da süreklidir. Bu nedenle sağdan ve soldan limitleri eşit olmalıdır: lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1+f(x)  ⟹  3(1)2+1=2(1)+a  ⟹  4=2+a  ⟹  a=2\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) \implies 3(1)^2 + 1 = 2(1) + a \implies 4 = 2 + a \implies a = 2 elde edilir.
2
İntegrali mutlak değerin içi sıfır olan x=0x = 0 noktasına göre iki parçaya ayırınız.
∫−12f(∣x∣) dx=∫−10f(−x) dx+∫02f(x) dx\int_{-1}^{2} f(|x|) \, dx = \int_{-1}^{0} f(-x) \, dx + \int_{0}^{2} f(x) \, dx
x<0x < 0 için ∣x∣=−x|x| = -x ve x≥0x \ge 0 için ∣x∣=x|x| = x olduğundan integral bu kritik noktaya göre ikiye bölünür.
3
[−1,0][-1, 0] aralığındaki integrali hesaplayınız.
∫−10(3x2+1) dx=2\int_{-1}^{0} (3x^2 + 1) \, dx = 2
x∈[−1,0]x \in [-1, 0] aralığında ∣x∣=−x|x| = -x olur. Bu durumda −x∈[0,1]-x \in [0, 1] olacağından fonksiyonun 11'den küçük değerler için geçerli olan kuralı kullanılır: f(−x)=3(−x)2+1=3x2+1f(-x) = 3(-x)^2 + 1 = 3x^2 + 1. İntegral hesaplandığında: ∫−10(3x2+1) dx=[x3+x]−10=0−(−1−1)=2\int_{-1}^{0} (3x^2 + 1) \, dx = [x^3 + x]_{-1}^0 = 0 - (-1 - 1) = 2 bulunur.
4
[0,2][0, 2] aralığındaki integrali hesaplayınız.
∫02f(x) dx=7\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 7
x∈[0,2]x \in [0, 2] aralığı, fonksiyonun kural değiştirdiği x=1x = 1 noktasına göre bölünür: ∫01(3x2+1) dx+∫12(2x+2) dx=[x3+x]01+[x2+2x]12=2+(8−3)=7\int_{0}^{1} (3x^2 + 1) \, dx + \int_{1}^{2} (2x + 2) \, dx = [x^3 + x]_0^1 + [x^2 + 2x]_1^2 = 2 + (8 - 3) = 7 elde edilir.
5
Bulunan iki integral değerini toplayarak sonucu bulunuz.
9
∫−12f(∣x∣) dx=∫−10f(∣x∣) dx+∫02f(∣x∣) dx=2+7=9\int_{-1}^{2} f(|x|) \, dx = \int_{-1}^{0} f(|x|) \, dx + \int_{0}^{2} f(|x|) \, dx = 2 + 7 = 9 bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı sürekli fonksiyonlerin belirli integrali ve mutlak değer içeren integral özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru