Examkin

Soru

Zorluk: ZorBelirli İntegral ve Özellikleri
Sürekli bir f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonu, her xx gerçel sayısı için
f(x)+f(6−x)=3x2−18x+29f(x) + f(6-x) = 3x^2 - 18x + 29

eşitliğini sağlamaktadır.
Buna göre,
∫24f(x) dx\int_{2}^{4} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?

Cevap: 3

Cevap

İntegralin değeri 3'tür.
Verilen fonksiyonel denklemde belirli integralin sınır değiştirme özelliği kullanıldığında integral değeri değişmez. Taraf tarafa toplama yapılarak tek bir integral altında birleştirilen ifadenin değeri hesaplanır ve ikiye bölünerek aranan değer olan 3 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integral sınırlarını ve değişkeni dönüştürmek.
∫24f(x) dx=∫24f(6−x) dx\int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} f(6-x) \, dx eşitliği elde edilir.
x=6−ux = 6-u değişken değiştirmesi yapıldığında dx=−dudx = -du olur. Sınırlar x=2x=2 için u=4u=4 ve x=4x=4 için u=2u=2 olur. Böylece ∫24f(x) dx=∫42f(6−u)(−du)=∫24f(6−u) du=∫24f(6−x) dx\int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{4}^{2} f(6-u) (-du) = \int_{2}^{4} f(6-u) \, du = \int_{2}^{4} f(6-x) \, dx bulunur.
2
İki integral ifadesini taraf tarafa toplamak.
2∫24f(x) dx=∫24(f(x)+f(6−x)) dx2 \int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{2}^{4} (f(x) + f(6-x)) \, dx elde edilir.
Soru kökündeki denklemi kullanabilmek amacıyla integralin doğrusal (lineer) özelliğinden faydalanarak iki özdeş integrali toplarız.
3
f(x)+f(6−x)=3x2−18x+29f(x) + f(6-x) = 3x^2 - 18x + 29 ifadesini yerine yazarak integral değerini hesaplamak.
2∫24f(x) dx=62 \int_{2}^{4} f(x) \, dx = 6 ve buradan ∫24f(x) dx=3\int_{2}^{4} f(x) \, dx = 3 bulunur.
Polinom integral alma kuralı uygulanarak [x3−9x2+29x]24=(64−144+116)−(8−36+58)=36−30=6[x^3 - 9x^2 + 29x]_2^4 = (64 - 144 + 116) - (8 - 36 + 58) = 36 - 30 = 6 hesabı yapılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde sınırların yansıması (değişken değiştirme) ve doğrusal toplama özellikleri.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru