\int_{0}^{2} x(x^2 + 1)^3 \, dx belirli integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\int_{0}^{2} x(x^2 + 1)^3 \, dx

belirli integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

İntegralin doğru değeri 78'dir.

Değişken değiştirme yöntemiyle

u = x^2 + 1

dönüşümü yapılıp diferansiyel ve sınırlar doğru şekilde uyarlandığında belirli integralin değeri 78 olarak hesaplanır.

Değişken değiştirme dönüşümü belirlenir.

u = x^2 + 1

seçilirse her iki tarafın diferansiyeli alındığında

du = 2x \, dx

olur. Buradan

x \, dx = \frac{du}{2}

elde edilir.

İntegrali alınacak ifadeyi bilinen temel integral formuna indirgemek için parantez içi

u

değişkenine eşitlenir.

Belirli integral sınırları yeni değişkene göre güncellenir.

Alt sınır için:

x = 0 \implies u = 0^2 + 1 = 1

. Üst sınır için:

x = 2 \implies u = 2^2 + 1 = 5

olur.

Belirli integralde değişken değiştiğinde, sınır değerlerinin de yeni değişkene göre yeniden hesaplanması gerekir.

İntegral yeni değişken ve sınırlar cinsinden yazılıp hesaplanır.

\int_{1}^{5} u^3 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^3 \, du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{1}^{5} = \frac{1}{8} (5^4 - 1^4) = \frac{625 - 1}{8} = 78

Kuvvet kuralı kullanılarak integral alınır ve üst ile alt sınır değerleri yerine koyularak farkı hesaplanır.

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi

Soru