Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
(x2−2x−8)⋅∣x−3∣x2−3x≤0 \frac{(x^2 - 2x - 8) \cdot |x - 3|}{x^2 - 3x} \leq 0 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının çarpımı kaçtır?

Cevap: 8

Cevap

Eşitsizliği sağlayan tam sayıların çarpımı 8'dir.
Eşitsizliği sağlayan tam sayılar −2-2, −1-1 ve 44'tür. Paydayı sıfır yapan 00 ve 33 değerleri çözüm kümesinden çıkarılmıştır. Bu tam sayıların çarpımı (−2)⋅(−1)⋅4=8(-2) \cdot (-1) \cdot 4 = 8 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Pay ve paydanın köklerini belirleme
Payın kökleri x=−2,3,4x = -2, 3, 4; paydanın kökleri ise x=0,3x = 0, 3 olarak tespit edilir.
Eşitsizlik işaret tablosu oluşturmak için ifadedeki tüm kritik noktaların belirlenmesi gerekir.
2
Köklerin katlarını ve dahil edilme koşullarını analiz etme
x=−2x = -2 ve x=4x = 4 çözüme dahil edilirken, payda kökleri olan x=0x = 0 ve x=3x = 3 dahil edilmez. x=3x = 3 noktasında ifadenin işareti yön değiştirir.
Paydayı sıfır yapan değerler ifadeyi tanımsız kılar. x=3x=3 hem pay hem de paydada yer alıp toplamda tek katlı kök etkisi gösterdiğinden bu noktada işaret değişmelidir.
3
İşaret tablosu yardımıyla çözüm aralıklarını bulma
İşaret analizi sonucunda ifadenin negatif veya sıfır olduğu çözüm kümesi [−2,0)∪(3,4][-2, 0) \cup (3, 4] olarak elde edilir.
Kritik noktalara göre oluşturulan işaret tablosunda, en sağdan (+) ile başlayarak her kökte işaret değiştirilir ve (-) olan bölgeler taranır.
4
Sağlayan tam sayıların çarpımını hesaplama
Sağlayan tam sayılar −2,−1,4-2, -1, 4 olup çarpımları 88 bulunur.
Çözüm kümesindeki tam sayıların tespit edilip çarpılması istenmektedir.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm durumundaki rasyonel eşitsizliklerde payda köklerinin elenmesi, mutlak değerli terimlerin işarete etkisi ve işaret tablosunun oluşturulması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru