\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}} \, dx belirli integralinin değeri aşağıdakilerden h… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}} \, dx

belirli integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

İntegralin doğru değeri 1'dir.

Doğru değer 1'dir.

x^2 + 16 = u

dönüşümü ile

x \, dx = \frac{du}{2}

elde edilir. Sınırlar

x = 0

için

u = 16

x = 3

için

u = 25

olarak güncellenir. Bu durumda integral

\int_{16}^{25} \frac{1}{2\sqrt{u}} \, du = \left[ \sqrt{u} \right]_{16}^{25} = 5 - 4 = 1

olur.

x^2 + 16 = u

dönüşümü yapılır ve her iki tarafın diferansiyeli alınır.

2x \, dx = du \implies x \, dx = \frac{du}{2}

elde edilir.

İntegral içerisindeki

x \, dx

ifadesini

u

cinsinden yazmak için.

Belirli integralin sınırları yeni değişken

u

'ya göre güncellenir.

Alt sınır için:

x = 0 \implies u = 0^2 + 16 = 16

. Üst sınır için:

x = 3 \implies u = 3^2 + 16 = 25

olur.

Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerektiği için.

Elde edilen ifadeler integralde yerine yazılarak belirli integral hesaplanır.

\int_{16}^{25} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{16}^{25} u^{-1/2} \, du = \frac{1}{2} \left[ 2\sqrt{u} \right]_{16}^{25} = \left[ \sqrt{u} \right]_{16}^{25} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1

bulunur.

İntegrali

u

cinsinden çözüp belirli integralin değerini bulmak için.

Değişken Değiştirme Yöntemi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru