Examkin

Soru

Zorluk: ZorParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={∣x2−1∣x−1+ax,x<1x2+bx+1,1≤x<2∣x2−5x+6∣x−2+3a−2b,x≥2f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} + ax, & x < 1 \\ x^2 + bx + 1, & 1 \le x < 2 \\ \frac{|x^2 - 5x + 6|}{x - 2} + 3a - 2b, & x \ge 2 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

ff fonksiyonunun x=1x = 1 ve x=2x = 2 noktalarında limiti olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

  1. A
    12
  2. B
    16
  3. 20Cevap
  4. D
    24
  5. E
    28

Cevap

20
Doğru seçenekte belirtilen 20 sayısı, x=1x=1 ve x=2x=2 noktalarındaki limit varlığı koşulundan elde edilen a−b=4a-b=4 ve 3a−4b=43a-4b=4 denklem sisteminin ortak çözümüyle bulunan a=12a=12 ve b=8b=8 değerlerinin toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
x = 1 noktasındaki sağ ve sol limitleri hesaplayarak eşitleyin.
x = 1 için sol limit:
lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1−(∣x2−1∣x−1+ax)\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \left( \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} + ax \right)
x→1−x \to 1^- için x<1x < 1 olduğundan x2−1<0x^2 - 1 < 0 olur ve ifade mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar:
lim⁡x→1−−(x2−1)x−1+ax=lim⁡x→1−−(x+1)+ax=−2+a\lim_{x \to 1^-} \frac{-(x^2 - 1)}{x - 1} + ax = \lim_{x \to 1^-} -(x+1) + ax = -2 + a

x = 1 için sağ limit:
lim⁡x→1+f(x)=lim⁡x→1+(x2+bx+1)=1+b+1=b+2\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 + bx + 1) = 1 + b + 1 = b + 2

Limitin varlığı için bu iki limit birbirine eşit olmalıdır:
−2+a=b+2  ⟹  a−b=4-2 + a = b + 2 \implies a - b = 4 (Denklem 1)
Parçalı fonksiyonların kritik noktalarında limitin bulunması için sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması kuralını uygulamak.
2
x = 2 noktasındaki sağ ve sol limitleri hesaplayarak eşitleyin.
x = 2 için sol limit:
lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2−(x2+bx+1)=4+2b+1=2b+5\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 + bx + 1) = 4 + 2b + 1 = 2b + 5

x = 2 için sağ limit:
lim⁡x→2+f(x)=lim⁡x→2+(∣x2−5x+6∣x−2+3a−2b)\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \left( \frac{|x^2 - 5x + 6|}{x - 2} + 3a - 2b \right)
x→2+x \to 2^+ için x>2x > 2 ve xx değeri 2'ye çok yakın olduğundan x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) ifadesinde x−2>0x-2 > 0 ve x−3<0x-3 < 0 olur. Çarpım negatif olacağından önüne eksi alarak çıkar:
lim⁡x→2+−(x−2)(x−3)x−2+3a−2b=lim⁡x→2+−(x−3)+3a−2b=1+3a−2b\lim_{x \to 2^+} \frac{-(x-2)(x-3)}{x - 2} + 3a - 2b = \lim_{x \to 2^+} -(x-3) + 3a - 2b = 1 + 3a - 2b

Limitin varlığı için bu iki limit birbirine eşit olmalıdır:
2b+5=1+3a−2b  ⟹  3a−4b=42b + 5 = 1 + 3a - 2b \implies 3a - 4b = 4 (Denklem 2)
Mutlak değerli ifadede 0/0 belirsizliğini gidermek için çarpanlara ayırma ve limit yönüne göre işaret incelemesi yapmak.
3
Elde edilen denklem sistemini çözerek a ve b parametrelerini bulunuz.
Denklem 1'den a=b+4a = b + 4 bağıntısını Denklem 2'de yerine yazalım:
3(b+4)−4b=43(b + 4) - 4b = 4
3b+12−4b=4  ⟹  −b=−8  ⟹  b=83b + 12 - 4b = 4 \implies -b = -8 \implies b = 8

b=8b = 8 değerini yerine yazarak aa değerini bulalım:
a=8+4=12a = 8 + 4 = 12

Buradan istenen toplam:
a+b=12+8=20a + b = 12 + 8 = 20 olarak elde edilir.
İki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek parametreleri ve bunların toplamını elde etmek.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların limitlerinde, özellikle kritik (sınır) noktalardaki limit incelenirken sağdan ve soldan yaklaşımlar ayrı ayrı ele alınmalıdır. Mutlak değer fonksiyonunda limit alınırken limit noktasının mutlak değerin içini sıfır yapıp yapmadığı kontrol edilmeli, yaklaşılan yöne göre işaret belirlenip sadeleştirme yapılarak limit değeri hesaplanmalıdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

Bu konudan daha fazla soru