Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu için \int_{1}^{2} f(x) \, dx = 5 \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 12\neşitlikleri veriliyor. Buna göre, \int_{1}^{4} \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx integralinin değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu için \int_{1}^{2} f(x) … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 5

\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 12

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{4} \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx

integralinin değeri kaçtır?

A
5
B
6
10Cevap
D
12
E
24

Cevap

Doğru cevap 10 değeridir.

Verilen integralde

u = \sqrt{x}

dönüşümü yapıldığında diferansiyel ifadesi

\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 \, du

olur. Sınırlar ise

x=1

için

u=1

x=4

için

u=2

olarak güncellenir. Böylece integral

2 \int_{1}^{2} f(u) \, du

şekline gelir. Bu integralin değeri, soruda verilen

\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 5

değeri yardımıyla

2 \times 5 = 10

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

u = \sqrt{x}

değişken değiştirmesi yapılır ve her iki tarafın diferansiyeli alınır.

du = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx \implies \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 \, du

elde edilir.

İntegraldeki

\frac{dx}{\sqrt{x}}

ifadesini yeni değişken

u

cinsinden yazmak için.

Belirli integralin sınırları

u = \sqrt{x}

dönüşümüne göre güncellenir.

Alt sınır:

x = 1 \implies u = \sqrt{1} = 1

. Üst sınır:

x = 4 \implies u = \sqrt{4} = 2

olur.

Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre tanımlanması gerektiği için.

Yeni sınırları ve diferansiyel ifadesini integralde yerine yazarak sonucu hesaplanır.

\int_{1}^{4} \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx = \int_{1}^{2} 2f(u) \, du = 2 \int_{1}^{2} f(u) \, du = 2 \times 5 = 10

bulunur.

Verilen

\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 5

bilgisini kullanarak integralin sayısal değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların güncellenmesi ve diferansiyel ilişkisi.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, integral içerisinde

x = u^2

dönüşümü yapılabilir. Bu durumda

dx = 2u \, du

olur. Sınırlar

x=1 \implies u=1

x=4 \implies u=2

olur. İntegral

\int_{1}^{2} \frac{f(u)}{u} \cdot 2u \, du = 2 \int_{1}^{2} f(u) \, du

olarak elde edilir ve aynı sonuca ulaşılır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru