Examkin

Soru

Zorluk: ZorParabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Analitik düzlemde, y=x2−(m+2)x+2my = x^2 - (m+2)x + 2m parabolü ile y=mx−1y = mx - 1 doğrusu iki farklı AA ve BB noktasında kesişmektedir.

Buna göre, [AB][AB] kirişinin orta noktasının koordinatları toplamı 33 olduğuna göre, mm gerçek sayısının alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

  1. A
    −5-5
  2. −3-3Cevap
  3. C
    −2-2
  4. D
    −1-1
  5. E
    33

Cevap

−3-3
Ortak çözüm denkleminden elde edilen kesişim noktalarının apsislerinin ortalaması orta noktanın apsisini verir. Bu apsis değeri doğru denkleminde yerine yazıldığında ordinat bulunur. Koordinatların toplamı 33'e eşitlendiğinde elde edilen m2+2m−3=0m^2+2m-3=0 denkleminin kökleri çarpımı −3-3 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktalarının apsislerini bulmak için parabol ve doğru denklemleri birbirine eşitlenir.
x2−(m+2)x+2m=mx−1  ⟹  x2−(2m+2)x+(2m+1)=0x^2 - (m+2)x + 2m = mx - 1 \implies x^2 - (2m+2)x + (2m+1) = 0 ortak çözüm denklemi elde edilir.
Parabol ile doğrunun ortak noktalarının apsisleri, bu ortak çözüm denkleminin kökleridir.
2
Kesişimin iki farklı noktada gerçekleştiği belirtildiğinden, diskriminant kontrolü yapılır.
Δ=[−(2m+2)]2−4(1)(2m+1)=4m2+8m+4−8m−4=4m2>0  ⟹  m≠0\Delta = [-(2m+2)]^2 - 4(1)(2m+1) = 4m^2 + 8m + 4 - 8m - 4 = 4m^2 > 0 \implies m \neq 0 elde edilir.
İki farklı kesim noktasının varlığı ortak çözüm denkleminin iki farklı gerçek kökünün olmasını gerektirir.
3
[AB][AB] kirişinin orta noktasının apsisi (x0x_0), kesim noktalarının apsisleri toplamının yarısı olarak hesaplanır.
x0=x1+x22=−(−(2m+2))2⋅1=m+1x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-( -(2m+2) )}{2 \cdot 1} = m + 1 bulunur.
Kirişin orta noktası, uç noktalarının aritmetik ortalamasıdır.
4
Orta nokta doğrunun üzerinde yer alacağından, bulunan x0x_0 değeri doğru denkleminde yerine yazılarak ordinat (y0y_0) hesaplanır.
y0=m⋅x0−1  ⟹  y0=m(m+1)−1=m2+m−1y_0 = m \cdot x_0 - 1 \implies y_0 = m(m+1) - 1 = m^2 + m - 1 bulunur.
Orta nokta, kesişim noktalarını birleştiren doğru segmentinin üzerinde olduğundan doğru denklemini sağlamak zorundadır.
5
Orta noktanın koordinatları toplamı 33'e eşitlenerek mm değişkenine bağlı ikinci dereceden denklem çözülür.
x0+y0=(m+1)+(m2+m−1)=3  ⟹  m2+2m=3  ⟹  m2+2m−3=0x_0 + y_0 = (m+1) + (m^2+m-1) = 3 \implies m^2 + 2m = 3 \implies m^2 + 2m - 3 = 0 denklemi elde edilir.
Orta noktanın koordinatları toplamı soruda 33 olarak verilmiştir.
6
Elde edilen denklemden mm'in alabileceği değerlerin çarpımı kökler çarpımı formülü kullanılarak bulunur.
m2+2m−3=0m^2 + 2m - 3 = 0 denkleminde kökler çarpımı ca=−31=−3\frac{c}{a} = \frac{-3}{1} = -3 olarak bulunur. (m=−3m = -3 ve m=1m = 1 değerlerinin ikisi de m≠0m \neq 0 koşulunu sağlamaktadır.)
İkinci dereceden bir denklemin köklerinin çarpımı sabitin başkatsayıya oranına eşittir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarını birleştiren kirişin orta noktasının bulunması ve analitik özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Bu konudan daha fazla soru