f(x) = \log_{\frac{x-1}{9-x}}(x^2 - x - 6) fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(x) fonksi… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f(x) = \log_{\frac{x-1}{9-x}}(x^2 - x - 6)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, $f(x)$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

A
26
B
28
25Cevap
D
30
E
34

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 25 değerine eşittir.

Doğru cevaba ulaşmak için tabanın pozitiflik (

1 < x < 9

) ve 1'den farklı olma (

x \neq 5

) koşulları ile logaritma içinin pozitiflik (

x < -2

veya

x > 3

) koşullarının kesişimi alınır. Bu kesişimden

(3, 9) \setminus \{5\}

kümesi elde edilir. Bu kümedeki tam sayılar 4, 6, 7, 8 olup toplamları 25 bulunur.

Adım Adım Çözüm

Logaritma tabanının pozitif olması koşulunu incelemek.

\frac{x-1}{9-x} > 0 \implies x \in (1, 9)

Logaritma tanımı gereği taban sıfırdan büyük olmalıdır.

Logaritma tabanının 1'den farklı olması koşulunu incelemek.

\frac{x-1}{9-x} \neq 1 \implies x - 1 \neq 9 - x \implies 2x \neq 10 \implies x \neq 5

Logaritma tanımı gereği taban 1'e eşit olamaz.

Logaritma içerisindeki ifadenin pozitif olması koşulunu incelemek.

x^2 - x - 6 > 0 \implies (x-3)(x+2) > 0 \implies x < -2 \text{ veya } x > 3

Logaritma tanımı gereği logaritması alınan ifade sıfırdan büyük olmalıdır.

Tüm koşulların kesişimini alarak tanım kümesini belirlemek.

x \in (3, 9) \setminus \{5\}

Fonksiyonun tanımlı olması için tüm koşulların aynı anda sağlanması gerekir.

Tanım kümesindeki tam sayıları bulup toplamak.

4, 6, 7, 8 \implies 4 + 6 + 7 + 8 = 25

İstenen tam sayı değerlerinin toplamını hesaplamak için kümedeki elemanlar toplanır.

Anahtar Kavram

Bir logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının sıfırdan büyük ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular