Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
11 ve 33 dışındaki tüm gerçel sayılar kümesinde tanımlı ff fonksiyonu
f(x)=x2−4x+3∣x−3∣+k⋅∣x−1∣x−1f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{|x - 3|} + k \cdot \frac{|x - 1|}{x - 1}
biçiminde veriliyor.
lim⁡x→3−f(x)=5\lim_{x \to 3^-} f(x) = 5
olduğuna göre, lim⁡x→1−f(x)\lim_{x \to 1^-} f(x) limitinin de��eri kaçtır?
  1. A
    -3
  2. B
    -5
  3. C
    3
  4. -7Cevap
  5. E
    7

Cevap

Limitin değeri -7'dir.
Limit x -> 3^- için x < 3 olduğundan |x-3| = -(x-3) ve x-1 > 0 olduğundan |x-1| = x-1 olur. Bu durumda limit -(x-1) + k ifadesinde x yerine 3 yazılmasıyla -2 + k = 5 olup k = 7 bulunur. Ardından x -> 1^- için x < 1 olduğundan |x-1| = -(x-1) ve |x-3| = -(x-3) olur. Limit x -> 1^- için -(x-1) - k ifadesinde x yerine 1 yazılmasıyla -k = -7 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
x, 3'e soldan yaklaşırken mutlak değerli ifadelerin işaretlerini inceleme
x < 3 olduğundan |x - 3| = -(x - 3) olur. Ayrıca x, 3'e çok yakın ama 3'ten küçük bir değer olduğundan x - 1 > 0 olur ve |x - 1| = x - 1 olarak dışarı çıkar.
Limit hesaplaması yapabilmek için mutlak değer ifadelerini dışarı çıkarmamız gerekir.
2
x, 3'e soldan yaklaşırken limit değerini hesaplayarak k sabiti değerini bulma
f(x) = (x-3)(x-1)/(-(x-3)) + k * (x-1)/(x-1) = -(x-1) + k olur. Buradan limit x -> 3^- için -(3-1) + k = -2 + k = 5 eşitliğinden k = 7 bulunur.
0/0 belirsizliğini gidermek için sadeleştirme işlemi yapıl��r ve k sabiti çözülür.
3
x, 1'e soldan yaklaşırken mutlak değerli ifadelerin işaretlerini inceleme ve limit değerini hesaplama
x < 1 olduğundan |x - 1| = -(x - 1) ve |x - 3| = -(x - 3) olur. Fonksiyon f(x) = -(x-1) - k halini alır. x -> 1^- için limit -(1-1) - k = 0 - k = -7 bulunur.
x'in 1'e soldan yaklaştığı durumdaki mutlak değerlerin işaret analizi yapılarak nihai limit hesaplanır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli ifadelerin limitini hesaplarken, limit noktasına hangi yönden yaklaşıldığı tespit edilerek mutlak değer içindeki ifadelerin işaret analizi yapılır. Pay ve paydadaki ortak çarpanlar sadeleştirilerek 0/0 belirsizliği giderilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

Bu konudan daha fazla soru