Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDeğişken Değiştirme Yöntemi
Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(0)=4f(0) = 4
f(1)=3f(1) = 3
f(2)=9f(2) = 9
f(3)=11f(3) = 11
f(4)=5f(4) = 5
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫14f′(x)x dx\int_{1}^{4} \frac{f'(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx
integralinin değeri kaçtır?
  1. A
    4
  2. B
    6
  3. C
    14
  4. 12Cevap
  5. E
    3

Cevap

Doğru cevap 12 olan seçenektir.
Dönüşüm u=xu = \sqrt{x} olarak yapıldığında, sınırlar 11 ve 22 olur. Diferansiyel ifadesi 2 du2 \, du olarak yerine konur ve integral 2[f(2)−f(1)]2[f(2) - f(1)] haline gelir. Verilen değerler kullanıldığında 2[9−3]=122[9 - 3] = 12 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
u=xu = \sqrt{x} dönüşümü yapılır.
du=12x dxdu = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx elde edilir. Buradan 1x dx=2 du\frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \, du olur.
İntegral içindeki ifadeyi sadeleştirmek ve değişken değiştirme yöntemini uygulamak için.
2
Belirli integralin sınırları uu değişkenine göre güncellenir.
Alt sınır için x=1⇒u=1=1x = 1 \Rightarrow u = \sqrt{1} = 1 olur. Üst sınır için x=4⇒u=4=2x = 4 \Rightarrow u = \sqrt{4} = 2 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene göre yeniden belirlenmesi gerekir.
3
Elde edilen yeni integral ifadesi hesaplanır.
∫14f′(x)x dx=∫12f′(u)⋅2 du=2∫12f′(u) du=2[f(2)−f(1)]\int_{1}^{4} \frac{f'(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx = \int_{1}^{2} f'(u) \cdot 2 \, du = 2 \int_{1}^{2} f'(u) \, du = 2 [f(2) - f(1)]
Türevin integrali kendisidir, bu nedenle temel integral alma kuralı uygulanır.
4
Verilen fonksiyon değerleri yerine yazılır.
2[f(2)−f(1)]=2[9−3]=2⋅6=122 [f(2) - f(1)] = 2 [9 - 3] = 2 \cdot 6 = 12
Soruda verilen fonksiyon değerlerini kullanarak nihai sayısal sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel hesabındaki katsayılara dikkat edilmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Değişken Değiştirme Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru