Examkin

Soru

Zorluk: ZorDeğişken Değiştirme Yöntemi
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12f(2x−1) dx=3\int_{1}^{2} f(2x - 1) \, dx = 3
∫12x⋅f(x2+1) dx=6\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 6
∫15f(x) dx=15\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 15
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫23f(2x−1) dx\int_{2}^{3} f(2x - 1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
  1. 92\frac{9}{2}Cevap
  2. B
    32\frac{3}{2}
  3. C
    66
  4. D
    33
  5. E
    212\frac{21}{2}

Cevap

Dokuz bölü iki
Dokuz bölü iki değeri doğrudur. İlk integralde u=2x−1u = 2x - 1 dönüşümü yapılarak ∫13f(x) dx=6\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6 ve ikinci integralde t=x2+1t = x^2 + 1 dönüşümü yapılarak ∫25f(x) dx=12\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12 elde edilir. ∫15f(x) dx=15\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 15 olduğundan, aralık parçalama özelliğiyle ∫35f(x) dx=15−6=9\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 15 - 6 = 9 bulunur. Son olarak, istenen integralde v=2x−1v = 2x - 1 dönüşümü uygulandığında 12∫35f(v) dv=92\frac{1}{2} \int_{3}^{5} f(v) \, dv = \frac{9}{2} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk integral olan ∫12f(2x−1) dx=3\int_{1}^{2} f(2x - 1) \, dx = 3 ifadesinde u=2x−1u = 2x - 1 dönüşümü yapılır.
du=2 dx  ⟹  dx=du2du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar için; x=1  ⟹  u=1x = 1 \implies u = 1 ve x=2  ⟹  u=3x = 2 \implies u = 3 elde edilir. Böylece ∫13f(u)du2=3  ⟹  ∫13f(x) dx=6\int_{1}^{3} f(u) \frac{du}{2} = 3 \implies \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6 bulunur.
Verilen integral ifadesini daha basit bir formda yazmak ve integral sınırlarını değişken cinsinden belirlemek için.
2
İkinci integral olan ∫12x⋅f(x2+1) dx=6\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = 6 ifadesinde t=x2+1t = x^2 + 1 dönüşümü yapılır.
dt=2x dx  ⟹  x dx=dt2dt = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{dt}{2} olur. Sınırlar için; x=1  ⟹  t=2x = 1 \implies t = 2 ve x=2  ⟹  t=5x = 2 \implies t = 5 elde edilir. Böylece ∫25f(t)dt2=6  ⟹  ∫25f(x) dx=12\int_{2}^{5} f(t) \frac{dt}{2} = 6 \implies \int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12 bulunur.
x⋅dxx \cdot dx ifadesini dtdt cinsinden yazıp integral sınırlarını güncellemek için.
3
Elde edilen integral değerleri ve belirli integralin parçalama özelliği kullanılarak ∫35f(x) dx\int_{3}^{5} f(x) \, dx hesaplanır.
∫15f(x) dx=∫13f(x) dx+∫35f(x) dx\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx yazılır. Buradan 15=6+∫35f(x) dx  ⟹  ∫35f(x) dx=915 = 6 + \int_{3}^{5} f(x) \, dx \implies \int_{3}^{5} f(x) \, dx = 9 bulunur.
Sınırları [3,5][3, 5] olan integralin değerini bulmak için aralık toplamsal özelliğinden yararlanılır.
4
Bizden istenen ∫23f(2x−1) dx\int_{2}^{3} f(2x - 1) \, dx integralinde v=2x−1v = 2x - 1 dönüşümü uygulanır.
dv=2 dx  ⟹  dx=dv2dv = 2 \, dx \implies dx = \frac{dv}{2} olur. Sınırlar için; x=2  ⟹  v=3x = 2 \implies v = 3 ve x=3  ⟹  v=5x = 3 \implies v = 5 elde edilir. Bu durumda istenen integral 12∫35f(v) dv=12⋅9=92\frac{1}{2} \int_{3}^{5} f(v) \, dv = \frac{1}{2} \cdot 9 = \frac{9}{2} olarak hesaplanır.
İstenen integrali, değeri bilinen integral cinsine dönüştürmek için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Değişken Değiştirme Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru