Examkin

Değişken Değiştirme Yöntemi

64 soru

Soru 61Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
- f(0)=2f(0) = 2
- f(1)=7f(1) = 7
- f(π/2)=9f(\pi/2) = 9

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,
∫0π/2sin⁡(2x)⋅f′(sin⁡2x) dx\int_{0}^{\pi/2} \sin(2x) \cdot f'(\sin^2 x) \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 55

Cevap

Değeri 5 olan seçenektir.
Değişken değiştirme yöntemi kullanılarak u=sin⁡2xu = \sin^2 x seçildiğinde du=sin⁡(2x) dxdu = \sin(2x) \, dx olur. İntegral sınırları x=0x = 0 için u=0u = 0 ve x=π/2x = \pi/2 için u=1u = 1 olarak güncellenir. Bu durumda integral ∫01f′(u) du=f(1)−f(0)\int_{0}^{1} f'(u) \, du = f(1) - f(0) haline gelir. Verilen değerler yerine yazıldığında 7−2=57 - 2 = 5 sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde değişken değiştirme uygulamak için uygun bir dönüşüm seçilir.
u=sin⁡2xu = \sin^2 x dönüşümü yapılır.
İntegralin içindeki f′(sin⁡2x)f'(\sin^2 x) ifadesini sadeleştirmek ve diferansiyelini dışarıdaki trigonometrik ifadeyle ilişkilendirmek için bu dönüşüm seçilir.
2
Seçilen dönüşümün diferansiyeli alınır.
du=2sin⁡xcos⁡x dxdu = 2 \sin x \cos x \, dx elde edilir. Yarım açı formülünden bu ifade du=sin⁡(2x) dxdu = \sin(2x) \, dx şekline dönüşür.
İntegraldeki sin⁡(2x) dx\sin(2x) \, dx teriminin yerine dudu yazabilmek için diferansiyel hesabı tamamlanır.
3
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=sin⁡2(0)=0x = 0 \implies u = \sin^2(0) = 0 olur. Üst sınır için x=π/2  ⟹  u=sin⁡2(π/2)=1x = \pi/2 \implies u = \sin^2(\pi/2) = 1 olur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
4
Yeni değişkenler ve sınırlar integralde yerine yazılarak belirli integral hesaplanır.
∫01f′(u) du=[f(u)]01=f(1)−f(0)\int_{0}^{1} f'(u) \, du = [f(u)]_{0}^{1} = f(1) - f(0)
Verilen değerler yerine yazıldığında:
7−2=57 - 2 = 5
sonucu elde edilir.
İntegral alma kuralları ve Analizin Temel Teoremi uygulanarak integralin sayısal değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel ilişkisinin kurulması ve sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi.
Soru 62Soru →
Belirli bir integral hesaplama sürecinde u=xu = \sqrt{x} değişken değiştirmesi yapıldığında, elde edilen yeni belirli integral
∫13f(u) du\int_{1}^{3} f(u) \, du
olmaktadır.
Buna göre, bu değişken değiştirme işlemi uygulanmadan önceki orijinal belirli integral aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∫19f(x)2x dx\int_{1}^{9} \frac{f(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \, dx

Cevap

İntegral sınırları 1 ile 9 arasında olan ve içinde f(kök(x)) bölü (2 kök(x)) ifadesini barındıran integral ifadesi doğrudur.
Doğru cevap, u=xu = \sqrt{x} dönüşümünün diferansiyeli olan du=12x dxdu = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx bağıntısını ve sınırların u=1  ⟹  x=1u = 1 \implies x = 1 ile u=3  ⟹  x=9u = 3 \implies x = 9 şeklinde xx değişkenine göre doğru güncellendiği integral ifadesidir.

Adım Adım Çözüm

1
Dönüşüm bağıntısı ve diferansiyel ilişkisini belirlemek.
u=x  ⟹  du=12x dxu = \sqrt{x} \implies du = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx elde edilir.
Orijinal integraldeki dxdx ifadesinin yeni integraldeki dudu ile ilişkisini kurabilmek için diferansiyel alınmalıdır.
2
İntegral sınırlarını uu değişkeninden xx değişkenine geri güncellemek.
Alt sınır için: u=1  ⟹  x=1  ⟹  x=1u = 1 \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1. Üst sınır için: u=3  ⟹  x=3  ⟹  x=9u = 3 \implies \sqrt{x} = 3 \implies x = 9.
Belirli integral sınırlarının, dönüşüm yapılan bağıntı kullanılarak orijinal xx değişkeni cinsinden değerleri bulunmalıdır.
3
Elde edilen ifadeleri yeni integralde yerine yazarak orijinal integrali oluşturmak.
∫13f(u) du=∫19f(x)⋅12x dx=∫19f(x)2x dx\int_{1}^{3} f(u) \, du = \int_{1}^{9} f(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = \int_{1}^{9} \frac{f(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} \, dx
Dönüşüm ve sınır değerleri yerine konularak başlangıçtaki orijinal integral ifadesine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi

Alternatif Yöntem

Orijinal integral seçeneklerinde sırasıyla u=xu = \sqrt{x} dönüşümü uygulanarak hangisinin ∫13f(u) du\int_{1}^{3} f(u) \, du integralini verdiğine bakılabilir. Doğru seçenek olan integralde u=xu = \sqrt{x} denirse, du=12x dxdu = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx olur. Sınırlar x=1  ⟹  u=1x=1 \implies u=1 ve x=9  ⟹  u=3x=9 \implies u=3 olacağından integral doğrudan ∫13f(u) du\int_{1}^{3} f(u) \, du biçimine dönüşür.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 63Soru →
∫0π2cos⁡x⋅(sin⁡x+1)3 dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \cdot (\sin x + 1)^3 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 154\frac{15}{4}

Cevap

15/4
Verilen integralde u=sin⁡x+1u = \sin x + 1 dönüşümü yapıldığında diferansiyel du=cos⁡x dxdu = \cos x \, dx olur. Sınırlar ise x=0x = 0 için u=1u = 1 ve x=π2x = \frac{\pi}{2} için u=2u = 2 olarak güncellenir. Bu durumda integral ∫12u3 du\int_{1}^{2} u^3 \, du haline gelir. Bu integralin değeri hesaplandığında 15/4 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır. u=sin⁡x+1u = \sin x + 1 dönüşümü seçilir.
Her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=cos⁡x dxdu = \cos x \, dx elde edilir.
İntegral içindeki cos⁡x dx\cos x \, dx ifadesini yeni değişken dudu cinsinden yazabilmek için.
2
İntegral sınırları yeni değişken uu değerlerine göre güncellenir.
Alt sınır için: x=0  ⟹  u=sin⁡0+1=1x = 0 \implies u = \sin 0 + 1 = 1. Üst sınır için: x=π2  ⟹  u=sin⁡(π2)+1=2x = \frac{\pi}{2} \implies u = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 1 = 2 elde edilir.
Belirli integralde sınırların dönüşüm yapılan yeni değişkene göre güncellenmesi zorunlu olduğu için.
3
Yeni değişkenler ve sınırlar integralde yerine yazılarak hesaplama tamamlanır.
∫12u3 du=[u44]12=244−144=4−14=154\int_{1}^{2} u^3 \, du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{1}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4} bulunur.
Polinom kuvvet kuralı yardımıyla integralin belirli değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

Alternatif Yöntem

İntegral u=sin⁡xu = \sin x dönüşümü yapılarak da çözülebilir. Bu durumda du=cos⁡x dxdu = \cos x \, dx olur ve sınırlar 0 ile 1 aralığına güncellenir. İntegral ise ∫01(u+1)3 du\int_{0}^{1} (u+1)^3 \, du şeklini alır. Burada t=u+1t = u+1 dönüşümü yapılarak integral ∫12t3 dt\int_{1}^{2} t^3 \, dt formuna getirilir ve aynı şekilde 15/4 sonucuna ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 64Soru →
∫124(x−1)3 dx\int_{1}^{2} 4(x-1)^3 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

1
Değişken değiştirme yöntemi uygulandığında u=x−1u = x-1 dönüşümüyle sınırlar 00 ve 11 olarak güncellenir. İntegral ∫014u3 du=[u4]01=1\int_{0}^{1} 4u^3 \, du = [u^4]_0^1 = 1 olarak hesaplanır. Dolayısıyla doğru cevap 1 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme tanımlaması yapılır.
u=x−1u = x-1 dönüşümü seçilir. Bu durumda her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=dxdu = dx elde edilir.
İntegrali daha kolay çözülebilir bir biçime getirmek için değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
2
Belirli integralin sınırları u değişkenine göre güncellenir.
Alt sınır için: x=1  ⟹  u=1−1=0x = 1 \implies u = 1 - 1 = 0
Üst sınır için: x=2  ⟹  u=2−1=1x = 2 \implies u = 2 - 1 = 1 olur.
Değişken değiştirildiğinde belirli integralin sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
3
Dönüşümler integralde yerine yazılarak yeni integral hesaplanır.
∫014u3 du=[u4]01=14−04=1\int_{0}^{1} 4u^3 \, du = \left[ u^4 \right]_0^1 = 1^4 - 0^4 = 1 elde edilir.
Elde edilen u cinsinden kolay integralin değeri hesaplanarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
ÖncekiSayfa 4 / 4
Değişken Değiştirme Yöntemi Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 4 | Examkin