Examkin

Değişken Değiştirme Yöntemi

64 soru

Soru 41Soru →
∫12x(x2−1)3 dx\int_{1}^{2} x(x^2 - 1)^3 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 818\frac{81}{8}

Cevap

818\frac{81}{8}
Doğru olan 818\frac{81}{8} cevabı, u=x2−1u = x^2 - 1 değişken değiştirmesi yapılıp diferansiyel x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} olarak yazıldıktan sonra sınırlar 00 ve 33 olacak şekilde güncellenerek yapılan integral hesabı ile bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
u=x2−1u = x^2 - 1 dönüşümü yapıldığında, her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=2x dx  ⟹  x dx=du2du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2} ifadesi elde edilir.
İntegral içerisindeki karmaşık ifadeyi daha basit bir formda entegre edebilmek için içteki fonksiyona yeni bir değişken atanır.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=12−1=0x = 1 \implies u = 1^2 - 1 = 0 ve üst sınır için x=2  ⟹  u=22−1=3x = 2 \implies u = 2^2 - 1 = 3 bulunur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde, integrasyon sınırlarının da yeni değişkene uygun olarak değiştirilmesi gerekir.
3
Elde edilen yeni integral hesaplanır.
∫03u3⋅du2=12[u44]03=18(34−04)=818\int_{0}^{3} u^3 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{3} = \frac{1}{8} (3^4 - 0^4) = \frac{81}{8} olarak hesaplanır.
İlkel fonksiyon bulunarak güncellenmiş sınırlar yerine yazılır ve belirli integralin değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel çarpanlarının doğru hesaplanması.
Soru 42Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫19f(x) dx=28\int_{1}^{9} f(x) \, dx = 28
ve
∫35f(x) dx=12\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 12
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫19f(2x+7)2x+7 dx\int_{1}^{9} \frac{f(\sqrt{2x+7})}{\sqrt{2x+7}} \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

İntegralin değeri 12'dir.
Doğru cevap 12'dir. u=2x+7u = \sqrt{2x+7} dönüşümü yapıldığında diferansiyel du=dx2x+7du = \frac{dx}{\sqrt{2x+7}} olur. İntegralin sınırları güncellendiğinde alt sınır 3, üst sınır 5 olur. Bu durumda integral ∫35f(u) du\int_{3}^{5} f(u) \, du haline gelir ve bu değer soruda 12 olarak verilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegrali basitleştirmek amacıyla u=2x+7u = \sqrt{2x+7} değişken değiştirmesi uygulanır.
Diferansiyel alındığında du=122x+7⋅2 dx  ⟹  du=dx2x+7du = \frac{1}{2\sqrt{2x+7}} \cdot 2 \, dx \implies du = \frac{dx}{\sqrt{2x+7}} elde edilir.
İntegral içindeki ifadeyi yeni değişken uu cinsinden ifade edebilmek.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=2(1)+7=3x = 1 \implies u = \sqrt{2(1)+7} = 3 olur. Üst sınır için x=9  ⟹  u=2(9)+7=5x = 9 \implies u = \sqrt{2(9)+7} = 5 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene uygun şekilde değiştirilmesi zorunludur.
3
Dönüşüm ve yeni sınırlar integralde yerine yazılır.
∫19f(2x+7)2x+7 dx=∫35f(u) du\int_{1}^{9} \frac{f(\sqrt{2x+7})}{\sqrt{2x+7}} \, dx = \int_{3}^{5} f(u) \, du elde edilir. Soruda verilen ∫35f(x) dx=12\int_{3}^{5} f(x) \, dx = 12 eşitliğinden bu integralin değeri 12 olarak bulunur.
Elde edilen yeni integral ifadesinin değeri, soruda verilen belirli integral bilgisi kullanılarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel hesabı ve integral sınırlarının güncellenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 43Soru →

Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için f(1)=2f(1) = 2 ve f(5)=8f(5) = 8 eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre,
∫13f′(2x−1)⋅[f(2x−1)]2 dx\int_{1}^{3} f'(2x-1) \cdot [f(2x-1)]^2 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 84

Cevap

84 değeri doğrudur.
Dönüşüm u=f(2x−1)u = f(2x-1) olarak seçildiğinde diferansiyel du=2f′(2x−1)dxdu = 2f'(2x-1)dx olur ve integral sınırları x=1x=1 için u=2u=2, x=3x=3 için u=8u=8 olarak güncellenir. Bu durumda integral 12∫28u2du\frac{1}{2} \int_{2}^{8} u^2 du haline gelir ve hesaplandığında 84 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme dönüşümü belirlenir ve diferansiyel al��nır.
u=f(2x−1)u = f(2x-1) dönüşümü yapıldığında, her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=2⋅f′(2x−1) dxdu = 2 \cdot f'(2x-1) \, dx elde edilir. Buradan f′(2x−1) dx=du2f'(2x-1) \, dx = \frac{du}{2} bulunur.
Verilen integrali u değişkenine bağlı daha kolay çözülebilir bir biçime dönüştürmek için.
2
Belirli integral sınırları yeni değişken u'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1⇒u=f(2(1)−1)=f(1)=2x = 1 \Rightarrow u = f(2(1)-1) = f(1) = 2 olur. Üst sınır için x=3⇒u=f(2(3)−1)=f(5)=8x = 3 \Rightarrow u = f(2(3)-1) = f(5) = 8 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integralin sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunlu olduğu için.
3
Yeni integral ifadesi oluşturulup hesaplanır.
∫28u2⋅du2=12[u33]28=16(83−23)=16(512−8)=5046=84\int_{2}^{8} u^2 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{2}^{8} = \frac{1}{6} (8^3 - 2^3) = \frac{1}{6} (512 - 8) = \frac{504}{6} = 84 elde edilir.
İntegral alma kuralları ve belirli integral hesaplama adımları uygulanarak nihai sayısal değere ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların güncellenmesi ve diferansiyel alırken zincir kuralına (içinin türevine) dikkat edilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 44Soru →
[3,7][3, 7] kapalı aralığında tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫13f(2x+1) dx\int_{1}^{3} f(2x + 1) \, dx
belirli integralinde u=2x+1u = 2x + 1 dönü��ümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∫3712f(u) du\int_{3}^{7} \frac{1}{2} f(u) \, du

Cevap

doğru dönüşüm sonucunda elde edilen \int_{3}^{7} \frac{1}{2} f(u) \, du ifadesidir.
Belirli integralde u=2x+1u = 2x + 1 dönüşümü yapıldığında du=2 dx  ⟹  dx=12 dudu = 2 \, dx \implies dx = \frac{1}{2} \, du olur. Sınırlar ise x=1x=1 için u=3u=3 ve x=3x=3 için u=7u=7 olarak güncellenir. Bu ifadeler yerine yazıldığında doğru dönüşüm ifadesi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken tanımlaması ve diferansiyel hesabı yapılır.
u=2x+1u = 2x + 1 dönüşümü için her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=2 dx  ⟹  dx=12 dudu = 2 \, dx \implies dx = \frac{1}{2} \, du elde edilir.
İntegral içerisindeki ifadeyi tek bir değişken cinsinden yazmak ve diferansiyel bağıntısını kurmak için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişkene (uu) göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=2(1)+1=3x = 1 \implies u = 2(1) + 1 = 3 ve üst sınır için x=3  ⟹  u=2(3)+1=7x = 3 \implies u = 2(3) + 1 = 7 olarak bulunur.
İntegrasyon değişkeni x'ten u'ya geçtiği için sınır değerlerinin de u değişkenine göre hesaplanması gerekir.
3
Dönüşümler ve yeni sınırlar orijinal integralde yerine yazılarak integral düzenlenir.
∫13f(2x+1) dx=∫37f(u)⋅12 du=∫3712f(u) du\int_{1}^{3} f(2x + 1) \, dx = \int_{3}^{7} f(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \int_{3}^{7} \frac{1}{2} f(u) \, du elde edilir.
Değişken değiştirme işlemini tamamlayarak integralin eşdeğerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 45Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(0)=2f(0) = 2
f(12)=8f\left(\frac{1}{2}\right) = 8
f(π6)=5f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 5
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫0π/6cos⁡(x)⋅f′(sin⁡(x)) dx\int_{0}^{\pi/6} \cos(x) \cdot f'(\sin(x)) \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
İntegral u=sin⁡(x)u = \sin(x) değişken değiştirmesiyle sınırları [0,1/2][0, 1/2] olan ∫01/2f′(u) du\int_{0}^{1/2} f'(u) \, du integraline dönüşür. Bu integralin sonucu f(1/2)−f(0)=8−2=6f(1/2) - f(0) = 8 - 2 = 6 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme yöntemini uygulamak için uygun bir dönüşüm belirlenir.
u=sin⁡(x)u = \sin(x) dönüşümü yapılır. Her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=cos⁡(x) dxdu = \cos(x) \, dx elde edilir.
İntegral içindeki cos⁡(x) dx\cos(x) \, dx ifadesini dudu cinsinden yazarak integrali basitleştirmek amacıyla bu dönüşüm gereklidir.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu cinsinden güncellenir.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=sin⁡(0)=0x = 0 \implies u = \sin(0) = 0 olur. Üst sınır için x=π/6  ⟹  u=sin⁡(π/6)=12x = \pi/6 \implies u = \sin(\pi/6) = \frac{1}{2} olur.
Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Yeni sınırlarla integral uu değişkenine bağlı olarak yazılır ve hesaplanır.
∫01/2f′(u) du=[f(u)]01/2=f(12)−f(0)\int_{0}^{1/2} f'(u) \, du = [f(u)]_{0}^{1/2} = f\left(\frac{1}{2}\right) - f(0) elde edilir. Değerler yerine yazıldığında: 8−2=68 - 2 = 6 bulunur.
Türevi f′(u)f'(u) olan fonksiyon f(u)f(u)'dur. Belirli integralin temel teoremine göre sınır değerleri fonksiyonda yerine yazılarak farkı alınır.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi
Soru 46Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫23(2x−3)⋅f(x2−3x+5) dx\int_{2}^{3} (2x - 3) \cdot f(x^2 - 3x + 5) \, dx
belirli integralinde u=x2−3x+5u = x^2 - 3x + 5 değişken değiştirmesi yapılıyor.

Buna göre, elde edilen yeni integral aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∫35f(u) du\int_{3}^{5} f(u) \, du

Cevap

Sınırları 3'ten 5'e olan f(u) du integrali
Verilen integralde u=x2−3x+5u = x^2 - 3x + 5 dönüşümü yapıldığında her iki tarafın diferansiyeli alınırsa du=(2x−3) dxdu = (2x - 3)\,dx elde edilir. Bu durum integral içindeki (2x−3) dx(2x - 3)\,dx ifadesinin doğrudan dudu ile yer değiştireceğini gösterir. Ardından sınırlar güncellenir: Alt sınır olan x=2x = 2 değeri dönüşüm denkleminde yerine yazıldığında u=3u = 3, üst sınır olan x=3x = 3 değeri yazıldığında ise u=5u = 5 bulunur. Böylece integral sınırları 3'ten 5'e olan f(u) duf(u)\,du integraline dönüşür.

Adım Adım Çözüm

1
Diferansiyel ifadesini bulunuz.
u=x2−3x+5⇒du=(2x−3) dxu = x^2 - 3x + 5 \Rightarrow du = (2x - 3) \, dx
İntegral içerisindeki (2x−3) dx(2x-3)\,dx ifadesini yeni değişken cinsinden yazmak için diferansiyel hesabı yapılır.
2
Belirli integralin sınırlarını yeni değişkene göre güncelleyiniz.
Alt sınır için x=2⇒u=22−3(2)+5=3x = 2 \Rightarrow u = 2^2 - 3(2) + 5 = 3
Üst sınır için x=3⇒u=32−3(3)+5=5x = 3 \Rightarrow u = 3^2 - 3(3) + 5 = 5
Belirli integralde değişken değiştiğinde, sınır değerlerin de yeni değişkene göre karşılıklarının hesaplanması gerekir.
3
Elde edilen ifadeleri orijinal integralde yerine yazınız.
∫35f(u) du\int_{3}^{5} f(u) \, du
Eski değişken xx cinsinden olan tüm terimler ve sınırlar, yeni değişken uu cinsinden olan karşılıklarıyla değiştirilerek nihai integral elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların güncellenmesi ve diferansiyel dönüşümünün eksiksiz yapılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 47Soru →
Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(1)=4f(1) = 4
f(2)=10f(2) = 10
f(4)=15f(4) = 15
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫14f′(x)x dx\int_{1}^{4} \frac{f'(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

12
Değişken değiştirme yöntemiyle integral 2∫12f′(u) du2 \int_{1}^{2} f'(u) \, du biçimine dönüşür. Bu integralin değeri 2[f(2)−f(1)]=2(10−4)=122[f(2) - f(1)] = 2(10 - 4) = 12 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
u=xu = \sqrt{x} dönüşümü yap��lması ve diferansiyelinin bulunması.
du=12x dx  ⟹  dxx=2 dudu = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx \implies \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 \, du elde edilir.
İntegraldeki değişkenleri uu cinsinden ifade etmek için.
2
İntegral sınırlarının güncellenmesi.
Alt sınır x=1x=1 için u=1u=1 ve üst sınır x=4x=4 için u=2u=2 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
3
İntegralin yeni değişkenle hesaplanması ve değerinin bulunması.
∫14f′(x)x dx=2∫12f′(u) du=2[f(2)−f(1)]=2(10−4)=12\int_{1}^{4} \frac{f'(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \int_{1}^{2} f'(u) \, du = 2[f(2) - f(1)] = 2(10 - 4) = 12 olarak hesaplanır.
İntegral değerini verilen fonksiyon değerleri cinsinden bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel hesabı ile birlikte sınırların da güncellenmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 48Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫01f(x) dx=4\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 4
∫12f(x) dx=8\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 8
∫23f(x) dx=16\int_{2}^{3} f(x) \, dx = 16
∫1ef(x) dx=12\int_{1}^{e} f(x) \, dx = 12
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫1ef(ln⁡x+1)x dx\int_{1}^{e} \frac{f(\ln x + 1)}{x} \, dx
belirli integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İntegralin değeri 8'dir.
İntegralde u=ln⁡x+1u = \ln x + 1 dönüşümü yapıldığında du=1x dxdu = \frac{1}{x} \, dx olur. Sınırlar güncellendiğinde alt sınır x=1x = 1 için u=1u = 1, üst sınır x=ex = e için u=2u = 2 olur. Böylece integral ∫12f(u) du\int_{1}^{2} f(u) \, du şekline dönüşür. Verilen ∫12f(x) dx=8\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 8 eşitliği kullanılarak doğru cevap 8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır. u=ln⁡x+1u = \ln x + 1 dönüşümü yapılır.
du=1x dxdu = \frac{1}{x} \, dx elde edilir. Bu durumda integraldeki 1x dx\frac{1}{x} \, dx ifadesi dudu olur.
İntegral değişkenini xx değişkeninden uu değişkenine dönüştürmek için.
2
İntegralin sınırları yeni değişken uu cinsinden güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=ln⁡1+1=1x = 1 \implies u = \ln 1 + 1 = 1 olur. Üst sınır için x=e  ⟹  u=ln⁡e+1=2x = e \implies u = \ln e + 1 = 2 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerektiği için.
3
Elde edilen yeni integral ifadesi yazılır ve verilen değerler kullanılarak hesaplanır.
Yeni integral ∫12f(u) du\int_{1}^{2} f(u) \, du haline gelir. Soruda ∫12f(x) dx=8\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 8 olarak verildiğinden integralin değeri 8 olarak bulunur.
Dönüşüm tamamlandıktan sonra integralin değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, integral ∫1ef(ln⁡x+1)x dx\int_{1}^{e} \frac{f(\ln x + 1)}{x} \, dx ifadesinde t=ln⁡xt = \ln x dönüşümü yapılırsa, integral ∫01f(t+1) dt\int_{0}^{1} f(t+1) \, dt olur. Daha sonra u=t+1u = t+1 dönüşümü yapılarak yine ∫12f(u) du\int_{1}^{2} f(u) \, du integraline ulaşılır ve sonuç 8 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 49Soru →
Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(0)=2f(0) = 2
f(1)=5f(1) = 5
f(2)=11f(2) = 11
f(7)=17f(7) = 17
eşitlikleri verilmektedir.
Buna göre,
∫12x2⋅f′(x3−1) dx\int_{1}^{2} x^2 \cdot f'(x^3 - 1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

İntegralin doğru değeri 5'tir.
İntegralde u=x3−1u = x^3 - 1 dönüşümü yapıldığında diferansiyel x2 dx=du3x^2 \, dx = \frac{du}{3} olur. Sınırlar x=1x=1 için u=0u=0, x=2x=2 için u=7u=7 olarak güncellenir. Bu durumda integral 13∫07f′(u) du=13[f(7)−f(0)]\frac{1}{3} \int_{0}^{7} f'(u) \, du = \frac{1}{3} [f(7) - f(0)] haline gelir. Verilen değerler yerine yazıldığında 13(17−2)=5\frac{1}{3} (17 - 2) = 5 sonucu bulunur. Bu nedenle doğru yanıt 5 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
İntegral ifadesinde u=x3−1u = x^3 - 1 değişken değiştirmesi tanımlanır ve diferansiyeli alınır.
du=3x2 dx  ⟹  x2 dx=du3du = 3x^2 \, dx \implies x^2 \, dx = \frac{du}{3} elde edilir.
İntegrali yeni değişken uu cinsinden yazabilmek için diferansiyel ifadesinin dönüştürülmesi gerekir.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=13−1=0x = 1 \implies u = 1^3 - 1 = 0 ve üst sınır için x=2  ⟹  u=23−1=7x = 2 \implies u = 2^3 - 1 = 7 bulunur.
Değişken değiştirme yapıldığında integralin sınır değerlerinin de yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Yeni sınırlar ve diferansiyel ifadesi integralde yerine yazılarak integral değeri hesaplanır.
∫12x2⋅f′(x3−1) dx=∫07f′(u)⋅du3=13[f(7)−f(0)]\int_{1}^{2} x^2 \cdot f'(x^3 - 1) \, dx = \int_{0}^{7} f'(u) \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} [f(7) - f(0)] ifadesinden 13[17−2]=5\frac{1}{3} [17 - 2] = 5 elde edilir.
Temel analiz teoremi kullanılarak türevi verilen fonksiyonun integral değeri hesaplanmıştır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların doğru bir şekilde güncellenmesi ve diferansiyel katsayılarının hesaba katılması.

Alternatif Yöntem

İntegral içindeki ifade, bileşke fonksiyonun türev kuralı yardımıyla doğrudan fark edilebilir. d(f(x3−1))=3x2⋅f′(x3−1) dxd(f(x^3 - 1)) = 3x^2 \cdot f'(x^3 - 1) \, dx olduğundan, integral içerisindeki terim 13d(f(x3−1))\frac{1}{3} d(f(x^3 - 1)) şeklinde yazılabilir. Buradan belirli integral doğrudan [13f(x3−1)]12=13[f(7)−f(0)]\left[ \frac{1}{3} f(x^3 - 1) \right]_{1}^{2} = \frac{1}{3} [f(7) - f(0)] olarak çözülür.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 50Soru →
Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
f(1)=3f(1) = 3
f(2)=5f(2) = 5
f(4)=11f(4) = 11
f(9)=7f(9) = 7
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12x⋅f′(x2) dx\int_{1}^{2} x \cdot f'(x^2) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İntegralin doğru değeri 4'tür.
Doğru seçenekte, u=x2u = x^2 dönüşümü kurallara uygun olarak yapılmış, sınırlar sırasıyla 11 ve 44 olarak güncellenmiş, diferansiyel katsayısı 12\frac{1}{2} olarak integralin önüne getirilmiş ve verilen değerler kullanılarak integralin değeri 44 olarak doğru bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme yöntemini uygulayalım.
u=x2u = x^2 dönüşümü yapılırsa her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=2x dx  ⟹  x dx=12 dudu = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{1}{2} \, du elde edilir.
İntegral içerisindeki x⋅f′(x2) dxx \cdot f'(x^2) \, dx ifadesini uu cinsinden yazmak için.
2
Belirli integralin sınırlarını güncelleyelim.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=12=1x = 1 \implies u = 1^2 = 1 olur. Üst sınır için x=2  ⟹  u=22=4x = 2 \implies u = 2^2 = 4 olur.
Değişken değiştirildikten sonra sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
3
Elde edilen yeni integrali kurup hesaplayalım.
∫12x⋅f′(x2) dx=∫14f′(u)⋅12 du=12∫14f′(u) du\int_{1}^{2} x \cdot f'(x^2) \, dx = \int_{1}^{4} f'(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} f'(u) \, du elde edilir. Bu integralin sonucu ise 12[f(u)]14=12[f(4)−f(1)]\frac{1}{2} [f(u)]_{1}^{4} = \frac{1}{2} [f(4) - f(1)] olur.
f′(u)f'(u) fonksiyonunun integrali f(u)f(u) fonksiyonudur.
4
Verilen fonksiyon değerlerini yerine yazalım.
f(4)=11f(4) = 11 ve f(1)=3f(1) = 3 değerleri yerine yazıldığında, 12[11−3]=82=4\frac{1}{2} [11 - 3] = \frac{8}{2} = 4 bulunur.
İntegralin sayısal değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların güncellenmesi ve diferansiyel katsayılarının doğru hesaplanması gerekir.
Soru 51Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫02(x−1)f(x) dx=8\int_{0}^{2} (x - 1) f(x) \, dx = 8
∫15(x−1)f(x) dx=12\int_{1}^{5} (x - 1) f(x) \, dx = 12
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫02x3f(x2+1) dx\int_{0}^{2} x^3 f(x^2 + 1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

İntegralin doğru değeri 6'dır.
Değişken değiştirme yapılıp sınırlar güncellendiğinde integral 12∫15(u−1)f(u) du\frac{1}{2} \int_{1}^{5} (u-1)f(u) \, du şekline gelir. Verilen ∫15(x−1)f(x) dx=12\int_{1}^{5} (x-1)f(x) \, dx = 12 değeri kullanılarak doğru yanıt 6 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde de��işken değiştirme yöntemi uygulanır. u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü yapılır.
Diferansiyel alındığında du=2x dxdu = 2x \, dx elde edilir. Buradan x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} ve x2=u−1x^2 = u - 1 bulunur.
İntegrali uu değişkenine bağlı olarak ifade etmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır x=0x = 0 için u=02+1=1u = 0^2 + 1 = 1, üst sınır x=2x = 2 için u=22+1=5u = 2^2 + 1 = 5 olur.
Değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da güncellenmesi gerektiği için.
3
Dönüşümler ve yeni sınırlar integralde yerine yazılarak ifade düzenlenir.
∫02x3f(x2+1) dx=∫15(u−1)f(u)du2=12∫15(u−1)f(u) du\int_{0}^{2} x^3 f(x^2 + 1) \, dx = \int_{1}^{5} (u - 1) f(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} (u - 1) f(u) \, du elde edilir.
Verilen integral ifadesini bilinen integral biçimine dönüştürmek için.
4
Soruda verilen ∫15(x−1)f(x) dx=12\int_{1}^{5} (x - 1) f(x) \, dx = 12 eşitliği kullanılarak integral hesaplanır.
12⋅12=6\frac{1}{2} \cdot 12 = 6 bulunur.
Doğru sınırlar altındaki integral değeri yerine yazılarak sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların ve diferansiyel ifadesinin doğru güncellenmesi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 52Soru →

f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} sürekli bir fonksiyon olmak üzere,

∫12f(x) dx=6\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 6
∫25f(x) dx=12\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

∫12f(3x−1) dx\int_{1}^{2} f(3x - 1) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

Değeri 4 olan seçenek doğrudur.
Doğru cevap 4 değerini içeren seçenektir. u=3x−1u = 3x - 1 dönüşümü yapıldığında diferansiyelden gelen 13\frac{1}{3} katsayısı ve sınırların 22 ile 55 olarak güncellenmesiyle integral 13∫25f(u) du\frac{1}{3} \int_{2}^{5} f(u) \, du haline gelir. Bu ifade, verilen ikinci integralin 13\frac{1}{3} katına eşittir ve sonucu 4 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır: u=3x−1u = 3x - 1 dönüşümü yapılır.
Bu dönüşümün her iki tarafının diferansiyeli alındığında du=3 dxdu = 3 \, dx elde edilir. Buradan dx=13 dudx = \frac{1}{3} \, du bulunur.
İntegral değişkenini x'ten u'ya çevirmek için diferansiyeller arasındaki ilişki kurulmalıdır.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan u değerlerine göre güncellenir.
Alt sınır için x=1⇒u=3(1)−1=2x = 1 \Rightarrow u = 3(1) - 1 = 2 olur. Üst sınır için x=2⇒u=3(2)−1=5x = 2 \Rightarrow u = 3(2) - 1 = 5 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Elde edilen yeni integral ifadesi yazılır ve verilen değer yerine konularak hesaplama tamamlanır.
∫12f(3x−1) dx=∫25f(u)⋅13 du=13∫25f(u) du\int_{1}^{2} f(3x - 1) \, dx = \int_{2}^{5} f(u) \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int_{2}^{5} f(u) \, du elde edilir. Soruda verilen ∫25f(x) dx=12\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12 değeri yerine yazıldığında sonuç 13⋅12=4\frac{1}{3} \cdot 12 = 4 olarak bulunur.
Yeni integralin değeri, sınırları güncellenmiş ve diferansiyel katsayısı eklenmiş haliyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 53Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
∫0π4tan⁡(x)⋅sec⁡2(x)⋅f′(tan⁡2(x)) dx\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan(x) \cdot \sec^2(x) \cdot f'(\tan^2(x)) \, dx
integrali veriliyor. Bu integralde u=tan⁡2(x)u = \tan^2(x) değişken değiştirmesi yapıldığında aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12∫01f′(u) du\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f'(u) \, du

Cevap

Önünde bir bölü iki katsayısı bulunan, sıfırdan bire f türev u du integralidir.
Verilen integralde u=tan⁡2(x)u = \tan^2(x) dönüşümü uygulandığında, diferansiyel du=2tan⁡(x)sec⁡2(x) dxdu = 2\tan(x)\sec^2(x)\,dx olur ve buradan tan⁡(x)sec⁡2(x) dx=12 du\tan(x)\sec^2(x)\,dx = \frac{1}{2}\,du elde edilir. İntegral sınırları ise x=0x=0 için u=0u=0 ve x=π4x=\frac{\pi}{4} için u=1u=1 olarak güncellenir. Bu değerler yerlerine yazıldığında integralin eş değeri önünde bir bölü iki katsayısı bulunan sıfırdan bire f türev u du şeklinde elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme bağıntısını ve diferansiyelini belirleme
u=tan⁡2(x)u = \tan^2(x) olarak seçildiğinde diferansiyel alınırsa du=2tan⁡(x)⋅sec⁡2(x) dxdu = 2 \tan(x) \cdot \sec^2(x) \, dx elde edilir. Buradan tan⁡(x)⋅sec⁡2(x) dx=12 du\tan(x) \cdot \sec^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \, du bulunur.
İntegral içindeki ifadenin uu cinsinden yazılabilmesi için diferansiyel ilişkisi kurulmalıdır.
2
Belirli integral sınırlarını güncelleme
Alt sınır için x=0x = 0 iken u=tan⁡2(0)=0u = \tan^2(0) = 0 olur. Üst sınır için x=π4x = \frac{\pi}{4} iken u=tan⁡2(π4)=12=1u = \tan^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1^2 = 1 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırları yeni değişkene göre güncellenmelidir.
3
Dönüşümleri integralde yerine yazma
∫0π4f′(tan⁡2(x))⋅(tan⁡(x)⋅sec⁡2(x) dx)=∫01f′(u)⋅(12 du)=12∫01f′(u) du\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f'(\tan^2(x)) \cdot \left(\tan(x) \cdot \sec^2(x) \, dx\right) = \int_{0}^{1} f'(u) \cdot \left(\frac{1}{2} \, du\right) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f'(u) \, du elde edilir.
Bulunan diferansiyel ifadesi ve yeni sınırlar integralde yerine yazılarak uu cinsinden eş değer integral elde edilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken diferansiyel hesabı ve integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
Soru 54Soru →
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫25x⋅f(x2−4) dx\int_{2}^{5} x \cdot f(x^2 - 4) \, dx
integrali veriliyor.

Buna göre, bu integral aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12∫021f(x) dx\frac{1}{2} \int_{0}^{21} f(x) \, dx

Cevap

12∫021f(x) dx\frac{1}{2} \int_{0}^{21} f(x) \, dx
İntegralde u=x2−4u = x^2 - 4 dönüşümü yapıldığında diferansiyel x dx=12 dux \, dx = \frac{1}{2} \, du olur. Sınırlar ise x=2x=2 için u=0u=0 ve x=5x=5 için u=21u=21 değerlerine güncellenir. Bu ifadeler yerine koyulup düzenlendiğinde, doğru integral ifadesi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme dönüşümü belirlenir ve diferansiyel hesaplanır.
u=x2−4u = x^2 - 4 dönüşümü yapılırsa, her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=2x dxdu = 2x \, dx ve buradan x dx=12 dux \, dx = \frac{1}{2} \, du elde edilir.
İntegral içerisindeki x dxx \, dx ifadesini yeni değişken uu türünden yazabilmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
Alt sınır için x=2  ⟹  u=22−4=0x = 2 \implies u = 2^2 - 4 = 0 olur. Üst sınır için x=5  ⟹  u=52−4=21x = 5 \implies u = 5^2 - 4 = 21 olur.
Değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene uyumlu olması gerektiği için.
3
Bulunan ifadeler integralde yerine yazılır.
∫25x⋅f(x2−4) dx=∫021f(u)⋅12 du=12∫021f(u) du\int_{2}^{5} x \cdot f(x^2 - 4) \, dx = \int_{0}^{21} f(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{21} f(u) \, du elde edilir. Belirli integralde değişkenin ismi sonucu etkilemediği için bu ifade 12∫021f(x) dx\frac{1}{2} \int_{0}^{21} f(x) \, dx şeklinde yazılabilir.
İntegralin değerini en sade biçimde ifade etmek için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi
Soru 55Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫12f(x) dx=5\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 5
∫14f(x) dx=12\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 12
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫14f(x)x dx\int_{1}^{4} \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Doğru cevap 10 değeridir.
Verilen integralde u=xu = \sqrt{x} dönüşümü yapıldığında diferansiyel ifadesi dxx=2 du\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 \, du olur. Sınırlar ise x=1x=1 için u=1u=1 ve x=4x=4 için u=2u=2 olarak güncellenir. Böylece integral 2∫12f(u) du2 \int_{1}^{2} f(u) \, du şekline gelir. Bu integralin değeri, soruda verilen ∫12f(x) dx=5\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 5 değeri yardımıyla 2×5=102 \times 5 = 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
u=xu = \sqrt{x} değişken değiştirmesi yapılır ve her iki tarafın diferansiyeli alınır.
du=12x dx  ⟹  dxx=2 dudu = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx \implies \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 \, du elde edilir.
İntegraldeki dxx\frac{dx}{\sqrt{x}} ifadesini yeni değişken uu cinsinden yazmak için.
2
Belirli integralin sınırları u=xu = \sqrt{x} dönüşümüne göre güncellenir.
Alt sınır: x=1  ⟹  u=1=1x = 1 \implies u = \sqrt{1} = 1. Üst sınır: x=4  ⟹  u=4=2x = 4 \implies u = \sqrt{4} = 2 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre tanımlanması gerektiği için.
3
Yeni sınırları ve diferansiyel ifadesini integralde yerine yazarak sonucu hesaplanır.
∫14f(x)x dx=∫122f(u) du=2∫12f(u) du=2×5=10\int_{1}^{4} \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx = \int_{1}^{2} 2f(u) \, du = 2 \int_{1}^{2} f(u) \, du = 2 \times 5 = 10 bulunur.
Verilen ∫12f(x) dx=5\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 5 bilgisini kullanarak integralin sayısal değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların güncellenmesi ve diferansiyel ilişkisi.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, integral içerisinde x=u2x = u^2 dönüşümü yapılabilir. Bu durumda dx=2u dudx = 2u \, du olur. Sınırlar x=1  ⟹  u=1x=1 \implies u=1 ve x=4  ⟹  u=2x=4 \implies u=2 olur. İntegral ∫12f(u)u⋅2u du=2∫12f(u) du\int_{1}^{2} \frac{f(u)}{u} \cdot 2u \, du = 2 \int_{1}^{2} f(u) \, du olarak elde edilir ve aynı sonuca ulaşılır.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 56Soru →
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫07f(x) dx=24\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 24
∫12f(x) dx=12\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 12
∫17f(x) dx=15\int_{1}^{7} f(x) \, dx = 15
eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫12x2⋅f(x3−1) dx\int_{1}^{2} x^2 \cdot f(x^3 - 1) \, dx
integralinin değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

İntegralin doğru değeri 8'dir.
Doğru seçenekte belirtilen değer, u=x3−1u = x^3 - 1 dönüşümüyle diferansiyelin x2 dx=du3x^2 \, dx = \frac{du}{3} şeklinde yazılması ve sınırların 00 ile 77 olarak güncellenmesiyle elde edilen 13∫07f(u) du=243=8\frac{1}{3} \int_{0}^{7} f(u) \, du = \frac{24}{3} = 8 hesabına dayanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
u=x3−1u = x^3 - 1 dönüşümü yapılır ve her iki tarafın diferansiyeli alınır.
du=3x2 dx  ⟹  x2 dx=du3du = 3x^2 \, dx \implies x^2 \, dx = \frac{du}{3} elde edilir.
İntegral içindeki x2 dxx^2 \, dx ifadesini yeni değişken uu cinsinden yazabilmek için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken olan uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1  ⟹  u=13−1=0x = 1 \implies u = 1^3 - 1 = 0 ve üst sınır için x=2  ⟹  u=23−1=7x = 2 \implies u = 2^3 - 1 = 7 bulunur.
İntegrasyon değişkeni değiştirildiğinde belirli integralin sınırlarının da bu dönüşüme uygun olarak güncellenmesi gerektiği için.
3
Dönüşümler ve yeni sınırlar integralde yerine yazılarak integral hesaplanır.
∫12x2⋅f(x3−1) dx=∫07f(u)⋅du3=13∫07f(u) du\int_{1}^{2} x^2 \cdot f(x^3 - 1) \, dx = \int_{0}^{7} f(u) \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int_{0}^{7} f(u) \, du elde edilir. Soruda verilen ∫07f(x) dx=24\int_{0}^{7} f(x) \, dx = 24 değeri yerine yazıldığında, sonuç 13⋅24=8\frac{1}{3} \cdot 24 = 8 olarak bulunur.
Değişken değiştirme işlemi tamamlandıktan sonra verilen integral değerini kullanarak nihai sonucu elde etmek için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulandığında, integrali alınan ifadenin diferansiyeli ile birlikte integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 57Soru →

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
- f(0)=2f(0) = 2
- f(3)=4f(3) = 4
- f(4)=7f(4) = 7
- f(5)=10f(5) = 10

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,
∫04xx2+9⋅f′(x2+9) dx\int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \cdot f'\left(\sqrt{x^2 + 9}\right) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
Verilen integralde u=x2+9u = \sqrt{x^2 + 9} dönüşümü uygulandığında du=xx2+9 dxdu = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \, dx elde edilir. İntegral sınırları alt sınır için 33 ve üst sınır için 55 olarak güncellenir. Bu durumda integral ∫35f′(u) du=f(5)−f(3)\int_{3}^{5} f'(u) \, du = f(5) - f(3) şekline dönüşür. Verilen değerler yerine yazıldığında 10−4=610 - 4 = 6 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme için uygun dönüşüm belirlenir ve diferansiyeli alınır.
u=x2+9u = \sqrt{x^2 + 9} dönüşümü yapılırsa her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=xx2+9 dxdu = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \, dx elde edilir.
İntegral içindeki ifadenin türevi ile ilişkisini kurarak integrali daha basit bir forma getirmek amacıyla bu dönüşüm tercih edilir.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=02+9=3x = 0 \implies u = \sqrt{0^2 + 9} = 3 ve üst sınır için x=4  ⟹  u=42+9=5x = 4 \implies u = \sqrt{4^2 + 9} = 5 olur.
Değişken değiştiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Yeni sınırlar ve değişkenler integralde yerine yazılarak integral hesaplanır.
∫04xx2+9⋅f′(x2+9) dx=∫35f′(u) du=[f(u)]35=f(5)−f(3)\int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \cdot f'\left(\sqrt{x^2 + 9}\right) \, dx = \int_{3}^{5} f'(u) \, du = [f(u)]_{3}^{5} = f(5) - f(3) elde edilir.
Değişken değiştirme sonrası elde edilen integral temel integral alma kuralları yardımıyla çözülür.
4
Soruda verilen fonksiyon değerleri yerine yazılarak nihai sonuca ulaşılır.
f(5)−f(3)=10−4=6f(5) - f(3) = 10 - 4 = 6 bulunur.
İntegralin sonucunu sayısal bir değere dönüştürmek için verilen fonksiyon değerleri kullanılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve integralin temel teoremi yardımıyla hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 58Soru →
∫03x3x2+1 dx\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^3}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx

belirli integralinde u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: ∫14u−12u du\int_{1}^{4} \frac{u-1}{2\sqrt{u}} \, du

Cevap

Değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesiyle elde edilen doğru integral ifadesi, sınırları 1'den 4'e kadar olan ve paydasında 2\sqrt{u} bulunan integraldir.
Dönüşüm yapıldığında sınırların güncellenmesiyle alt sınır 1, üst sınır 4 olur. Ayrıca x^3 dx = x^2 * x dx yazılarak x^2 = u - 1 ve x dx = du/2 ifadeleri yerine konduğunda doğru integral elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme bağıntısını ve diferansiyelini belirleme
u=x2+1  ⟹  du=2x dx  ⟹  x dx=du2u = x^2 + 1 \implies du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{du}{2}
İntegral içindeki x3 dxx^3 \, dx ifadesini x2⋅(x dx)x^2 \cdot (x \, dx) şeklinde yazarak yeni değişken cinsinden ifade etmek için.
2
Belirli integralin sınırlarını güncelleme
Alt sınır: x=0  ⟹  u=02+1=1x = 0 \implies u = 0^2 + 1 = 1, Üst sınır: x=3  ⟹  u=(3)2+1=4x = \sqrt{3} \implies u = (\sqrt{3})^2 + 1 = 4
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da bu değişime uygun olarak güncellenmesi gerektiği için.
3
İfadeleri integralde yerine yazarak yeni integrali elde etme
∫14u−1u⋅du2=∫14u−12u du\int_{1}^{4} \frac{u-1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2} = \int_{1}^{4} \frac{u-1}{2\sqrt{u}} \, du
Tüm terimleri ve sınırları uu cinsinden yazıp integral ifadesini tamamlamak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel ifadesinin doğru biçimde yazılması gerekir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 59Soru →
∫02x(x2+1)3 dx\int_{0}^{2} x(x^2 + 1)^3 \, dx

belirli integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 78

Cevap

İntegralin doğru değeri 78'dir.
Değişken değiştirme yöntemiyle u=x2+1u = x^2 + 1 dönüşümü yapılıp diferansiyel ve sınırlar doğru şekilde uyarlandığında belirli integralin değeri 78 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme dönüşümü belirlenir.
u=x2+1u = x^2 + 1 seçilirse her iki tarafın diferansiyeli alındığında du=2x dxdu = 2x \, dx olur. Buradan x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} elde edilir.
İntegrali alınacak ifadeyi bilinen temel integral formuna indirgemek için parantez içi uu değişkenine eşitlenir.
2
Belirli integral sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
Alt sınır için: x=0  ⟹  u=02+1=1x = 0 \implies u = 0^2 + 1 = 1. Üst sınır için: x=2  ⟹  u=22+1=5x = 2 \implies u = 2^2 + 1 = 5 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde, sınır değerlerinin de yeni değişkene göre yeniden hesaplanması gerekir.
3
İntegral yeni değişken ve sınırlar cinsinden yazılıp hesaplanır.
∫15u3⋅du2=12∫15u3 du=12[u44]15=18(54−14)=625−18=78\int_{1}^{5} u^3 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^3 \, du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{1}^{5} = \frac{1}{8} (5^4 - 1^4) = \frac{625 - 1}{8} = 78
Kuvvet kuralı kullanılarak integral alınır ve üst ile alt sınır değerleri yerine koyularak farkı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi
Soru 60Soru →
∫03xx2+16 dx\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 16}} \, dx belirli integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

İntegralin doğru değeri 1'dir.
Doğru değer 1'dir. x2+16=ux^2 + 16 = u dönüşümü ile x dx=du2x \, dx = \frac{du}{2} elde edilir. Sınırlar x=0x = 0 için u=16u = 16 ve x=3x = 3 için u=25u = 25 olarak güncellenir. Bu durumda integral ∫162512u du=[u]1625=5−4=1\int_{16}^{25} \frac{1}{2\sqrt{u}} \, du = \left[ \sqrt{u} \right]_{16}^{25} = 5 - 4 = 1 olur.

Adım Adım Çözüm

1
x2+16=ux^2 + 16 = u dönüşümü yapılır ve her iki tarafın diferansiyeli alınır.
2x dx=du  ⟹  x dx=du22x \, dx = du \implies x \, dx = \frac{du}{2} elde edilir.
İntegral içerisindeki x dxx \, dx ifadesini uu cinsinden yazmak için.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişken uu'ya göre güncellenir.
Alt sınır için: x=0  ⟹  u=02+16=16x = 0 \implies u = 0^2 + 16 = 16. Üst sınır için: x=3  ⟹  u=32+16=25x = 3 \implies u = 3^2 + 16 = 25 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerektiği için.
3
Elde edilen ifadeler integralde yerine yazılarak belirli integral hesaplanır.
∫16251u⋅du2=12∫1625u−1/2 du=12[2u]1625=[u]1625=25−16=5−4=1\int_{16}^{25} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{16}^{25} u^{-1/2} \, du = \frac{1}{2} \left[ 2\sqrt{u} \right]_{16}^{25} = \left[ \sqrt{u} \right]_{16}^{25} = \sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1 bulunur.
İntegrali uu cinsinden çözüp belirli integralin değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Değişken Değiştirme Yöntemi
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 3 / 4Sonraki
Değişken Değiştirme Yöntemi Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 3 | Examkin