Examkin

Kombinasyon

25 soru

Tüm türler25Çoktan seçmeli13Sayısal12
Soru 21Soru →

Bir çember üzerinde 6 farklı nokta ve bu çemberin tamamen dışındaki bir doğru üzerinde 4 farklı nokta bulunmaktadır. Buna göre, köşeleri bu 10 noktadan seçilen en çok kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 116

Cevap

Seçilebilecek tüm 3'lü noktaların sayısından doğrusal olan 3'lülerin sayısı çıkarıldığında 116 farklı üçgen oluşturulabilir.
Herhangi üçü doğrusal olmayan 10 noktadan normalde 120 üçgen oluşturulabilirdi. Ancak doğru üzerindeki 4 nokta doğrusal olduğundan, bu 4 noktadan seçilen 3'lü gruplar (4 adet) üçgen oluşturamaz. Bu yüzden 120'den 4 çıkarılarak 116 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nokta sayısı üzerinden seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısı hesaplanır.
120
10 noktadan herhangi 3'ünün seçimi C(10,3) kombinasyonu ile bulunur.
2
Aynı doğru üzerindeki noktaların doğrusal olmasından dolayı üçgen oluşturmayan seçimler hesaplanır.
4
Doğru üzerindeki 4 noktadan seçilen 3 noktanın tamamı doğrusal olduğundan üçgen belirtmez.
3
Toplam seçim sayısından doğrusal olan seçim sayısı çıkarılır.
116
Doğrusal olmayan her 3 nokta bir üçgen oluşturduğu için çıkarma işlemi yapılır.

Anahtar Kavram

Doğrusal olmayan noktalarla üçgen oluşturma kombinasyonları
Soru 22Soru →

Bir restoranın menüsünde 4 farklı çorba, 3 farklı ana yemek ve 3 farklı tatlı seçeneği bulunmaktadır. Bu restorandan yemek siparişi vermek isteyen bir müşteri; menüdeki her bir yemek türünden (çorba, ana yemek ve tatlı) en az birer tane bulunması şartıyla toplam 4 farklı yemek sipariş edecektir. Buna göre, bu müşteri siparişini kaç farklı şekilde oluşturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 126

Cevap

126 farklı şekilde sipariş oluşturulabilir.
Sorudaki koşullara göre seçilebilecek 4 yemek ancak (2 çorba, 1 ana yemek, 1 tatlı), (1 çorba, 2 ana yemek, 1 tatlı) ya da (1 çorba, 1 ana yemek, 2 tatlı) şeklinde gruplandırılabilir. Bu üç durumun kombinasyon değerleri sırasıyla 54, 36 ve 36 olup, bu değerlerin toplamı 126'dır. Dolayısıyla doğru cevap 126 sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam 4 yemek seçilecektir ve her yemek türünden (çorba, ana yemek, tatlı) en az bir tane bulunmalıdır. Bu koşulu sağlayan olası grup dağılımları belirlenir.
Olası dağılımlar şunlardır: (2 çorba, 1 ana yemek, 1 tatlı), (1 çorba, 2 ana yemek, 1 tatlı) veya (1 çorba, 1 ana yemek, 2 tatlı).
Toplam seçilecek yemek sayısının 4 olması ve her gruptan en az 1 tane seçilmesi gerektiğinden, gruplardan birinden 2, diğerlerinden ise 1'er tane seçilmelidir.
2
Belirlenen ü�� durum için kombinasyon hesaplamaları yapılır.
1. Durum (2 çorba, 1 ana yemek, 1 tatlı): C(4,2) * C(3,1) * C(3,1) = 6 * 3 * 3 = 54.
2. Durum (1 çorba, 2 ana yemek, 1 tatlı): C(4,1) * C(3,2) * C(3,1) = 4 * 3 * 3 = 36.
3. Durum (1 çorba, 1 ana yemek, 2 tatlı): C(4,1) * C(3,1) * C(3,2) = 4 * 3 * 3 = 36.
Her bir gruptan yapılan seçimler birbirinden bağımsız olaylar olduğu için çarpma kuralı uygulanır.
3
Elde edilen durum sayıları toplanarak toplam olasılık sayısı bulunur.
Toplam seçim sayısı = 54 + 36 + 36 = 126.
Belirlenen üç durum birbirini dışlayan (ayrık) olaylar olduğundan toplama kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon yardımıyla kısıtlı seçim yapma ve toplama/çarpma kurallarını birlikte uygulama.
Soru 23Soru →

Bir okulun basketbol takımında 5 oyun kurucu ve 6 pivot olmak üzere toplam 11 oyuncu bulunmaktadır. Bu oyuncular arasından 4 kişilik bir antrenman kadrosu seçilecektir.

Seçilecek bu kadroda en az 1 oyun kurucu ve en az 2 pivot bulunması gerektiğine göre, bu kadro kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 250

Cevap

Antrenman kadrosu 250 farklı şekilde oluşturulabilir.
Seçilecek 4 kişilik kadroda en az 1 oyun kurucu ve en az 2 pivot bulunması koşulu, (1 oyun kurucu, 3 pivot) veya (2 oyun kurucu, 2 pivot) durumlarının gerçekleşmesini gerektirir. Bu durumların kombinasyon sayıları hesaplanıp toplandığında doğru sonuca ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullara uygun olası oyuncu da��ılımlarını belirlemek.
(1 oyun kurucu, 3 pivot) veya (2 oyun kurucu, 2 pivot)
Toplam 4 oyuncu seçileceği, en az 1 oyun kurucu ve en az 2 pivot gerektiği için bu iki durum dışında koşulları sağlayan başka bir dağılım yoktur.
2
1 oyun kurucu ve 3 pivot seçimi için kombinasyon hesabını yapmak.
100 farklı seçim
5 oyun kurucu arasından 1 kişi ve 6 pivot arasından 3 kişi seçilmesi gerektiğinden C(5, 1) * C(6, 3) = 5 * 20 = 100 hesaplanır.
3
2 oyun kurucu ve 2 pivot seçimi için kombinasyon hesabını yapmak.
150 farklı seçim
5 oyun kurucu arasından 2 kişi ve 6 pivot arasından 2 kişi seçilmesi gerektiğinden C(5, 2) * C(6, 2) = 10 * 15 = 150 hesaplanır.
4
Elde edilen seçim sayılarını toplamak.
250
Belirlenen iki durum ayrık olaylar olduğu için toplam seçim sayısı bu durumların ayrı ayrı kombinasyon değerlerinin toplamına eşittir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) problemleri ve koşullu seçimler.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 24Soru →

4 fizikçi, 3 kimyager ve 1 matematikçiden oluşan 8 kişilik bir araştırmacı grubundan 4 kişilik bir proje ekibi kurulacaktır.

Kurulacak ekipte matematikçinin bulunması, ayrıca en az bir fizikçi ve en az bir kimyagerin yer alması zorunludur.

Buna göre, bu proje ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Proje ekibi 30 farklı şekilde oluşturulabilir.
Matematikçi ekibe kesin olarak dahil edildikten sonra, kalan 3 üye 4 fizikçi ve 3 kimyager arasından seçilir. En az bir fizikçi ve en az bir kimyager şartı nedeniyle; 1 fizikçi ve 2 kimyager seçimi (41)×(32)=12\binom{4}{1} \times \binom{3}{2} = 12 farklı şekilde, 2 fizikçi ve 1 kimyager seçimi ise (42)×(31)=18\binom{4}{2} \times \binom{3}{1} = 18 farklı şekilde yapılabilir. Toplamda 12+18=3012 + 18 = 30 farklı şekilde ekip oluşturulabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Matematikçinin ekipte yer alması zorunlu olduğundan, ekipteki 1 kişilik yer kesinleşir. Geriye kalan 3 kişi, 4 fizikçi ve 3 kimyager arasından seçilmelidir.
Geriye kalan 7 kişiden 3 kişi seçilecektir.
Matematikçi seçildikten sonra ekibin diğer üyelerinin belirlenmesi gerekir.
2
Ekipte en az bir fizikçi ve en az bir kimyager olması koşulunu inceleyelim. İki durum mevcuttur: (1) 1 fizikçi ve 2 kimyager seçilmesi, (2) 2 fizikçi ve 1 kimyager seçilmesi.
Durum 1: (41)×(32)=4×3=12\binom{4}{1} \times \binom{3}{2} = 4 \times 3 = 12 yol. Durum 2: (42)×(31)=6×3=18\binom{4}{2} \times \binom{3}{1} = 6 \times 3 = 18 yol.
Koşulları sağlayan tüm olası alt seçim durumlarının sayısı ayrı ayrı hesaplanır.
3
Bu iki durumun sonuçlarını toplayarak toplam farklı seçim sayısını buluruz.
12+18=3012 + 18 = 30
Farklı seçim olasılıkları toplama yoluyla sayma prensibiyle birleştirilir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Koşullu Seçimler
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 25Soru →

Bir yazılım firması, geliştirdiği bir uygulama için kullanıcılardan aşağıdaki kurallara uygun 4 basamaklı şifreler oluşturmalarını istemektedir:

* Şifrenin tüm basamaklarındaki rakamlar birbirinden farklı olmalıdır.
* Şifreyi oluşturan rakamlar soldan sağa doğru artan sırada olmalıdır.
* Şifrede kullanılacak rakamlar {1,2,3,4,5,6,7}\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesinin elemanları arasından seçilmelidir.

Bu şifrede yer alan rakamlardan en az iki tanesinin çift sayı olması istendiğine göre, bu kurallara uygun kaç farklı şifre oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Bu kurallara uygun 22 farklı şifre oluşturulabilir.
Kümedeki tek rakamlar {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\} (4 adet) ve çift rakamlar {2,4,6}\{2, 4, 6\} (3 adet) olarak ayrılır. Rakamlar soldan sağa doğru artan sırada yazılacağı için her 4 elemanlı seçim tek bir şifre üretir. En az 2 çift sayı koşulu için; 2 çift ve 2 tek rakam seçimi (32)⋅(42)=18\binom{3}{2} \cdot \binom{4}{2} = 18 şekilde, veya 3 çift ve 1 tek rakam seçimi (33)⋅(41)=4\binom{3}{3} \cdot \binom{4}{1} = 4 şekilde yapılabilir. Toplam şifre sayısı 18+4=2218 + 4 = 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki tek ve çift sayıları belirleme
Tek sayılar: {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\} (4 tane), Çift sayılar: {2,4,6}\{2, 4, 6\} (3 tane)
Şartlardaki tek ve çift sayı seçimlerini ayrı gruplardan yapabilmek için küme elemanlarını sınıflandırmamız gerekir.
2
Sıralama kısıtını analiz etme
Seçilen her 4 elemanlı küme için tek bir şifre yazılabilir.
��ifrenin basamaklarındaki rakamların soldan sağa doğru artan sırada olması istenmektedir. Seçilen her farklı 4 rakam grubu yalnızca tek bir şekilde (küçükten büyüğe) sıralanabileceğinden, sıralama hesabı (permütasyon) yapmaya gerek yoktur; sadece seçim (kombinasyon) yapmak yeterlidir.
3
En az iki çift sayı içerme durumlarını hesaplama
Toplam 22 farklı seçim yapılır.
En az 2 çift sayı seçilmesi koşulu iki alt durumda incelenir:
1) Tam 2 çift sayı ve 2 tek sayı seçilmesi: (32)⋅(42)=3⋅6=18\binom{3}{2} \cdot \binom{4}{2} = 3 \cdot 6 = 18 durum.
2) Tam 3 çift sayı ve 1 tek sayı seçilmesi: (33)⋅(41)=1⋅4=4\binom{3}{3} \cdot \binom{4}{1} = 1 \cdot 4 = 4 durum. Bu iki durumun toplamı 18+4=2218 + 4 = 22 olur.

Anahtar Kavram

Koşullu Kombinasyon ve Sıralama Bağımsız Seçimler

Alternatif Yöntem

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak da sonuca ulaşabiliriz. Seçilebilecek tüm 4 elemanlı grupların sayısı (74)=35\binom{7}{4} = 35'tir. İstenmeyen durumlar, şifrede 2'den az çift sayı bulunmasıdır:
1) Hiç çift sayı bulunmaması (4 tek sayı seçilmesi): (44)=1\binom{4}{4} = 1 durum.
2) Sadece 1 çift sayı bulunması (1 çift, 3 tek sayı seçilmesi): (31)⋅(43)=3⋅4=12\binom{3}{1} \cdot \binom{4}{3} = 3 \cdot 4 = 12 durum.
İstenen durum sayısı = Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar = 35−(1+12)=2235 - (1 + 12) = 22 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
ÖncekiSayfa 2 / 2
Kombinasyon Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin