Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKombinasyon

Bir yazılım firması, geliştirdiği bir uygulama için kullanıcılardan aşağıdaki kurallara uygun 4 basamaklı şifreler oluşturmalarını istemektedir:

* Şifrenin tüm basamaklarındaki rakamlar birbirinden farklı olmalıdır.
* Şifreyi oluşturan rakamlar soldan sağa doğru artan sırada olmalıdır.
* Şifrede kullanılacak rakamlar {1,2,3,4,5,6,7}\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} kümesinin elemanları arasından seçilmelidir.

Bu şifrede yer alan rakamlardan en az iki tanesinin çift sayı olması istendiğine göre, bu kurallara uygun kaç farklı şifre oluşturulabilir?

Cevap: 22

Cevap

Bu kurallara uygun 22 farklı şifre oluşturulabilir.
Kümedeki tek rakamlar {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\} (4 adet) ve çift rakamlar {2,4,6}\{2, 4, 6\} (3 adet) olarak ayrılır. Rakamlar soldan sağa doğru artan sırada yazılacağı için her 4 elemanlı seçim tek bir şifre üretir. En az 2 çift sayı koşulu için; 2 çift ve 2 tek rakam seçimi (32)⋅(42)=18\binom{3}{2} \cdot \binom{4}{2} = 18 şekilde, veya 3 çift ve 1 tek rakam seçimi (33)⋅(41)=4\binom{3}{3} \cdot \binom{4}{1} = 4 şekilde yapılabilir. Toplam şifre sayısı 18+4=2218 + 4 = 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Kümedeki tek ve çift sayıları belirleme
Tek sayılar: {1,3,5,7}\{1, 3, 5, 7\} (4 tane), Çift sayılar: {2,4,6}\{2, 4, 6\} (3 tane)
Şartlardaki tek ve çift sayı seçimlerini ayrı gruplardan yapabilmek için küme elemanlarını sınıflandırmamız gerekir.
2
Sıralama kısıtını analiz etme
Seçilen her 4 elemanlı küme için tek bir şifre yazılabilir.
��ifrenin basamaklarındaki rakamların soldan sağa doğru artan sırada olması istenmektedir. Seçilen her farklı 4 rakam grubu yalnızca tek bir şekilde (küçükten büyüğe) sıralanabileceğinden, sıralama hesabı (permütasyon) yapmaya gerek yoktur; sadece seçim (kombinasyon) yapmak yeterlidir.
3
En az iki çift sayı içerme durumlarını hesaplama
Toplam 22 farklı seçim yapılır.
En az 2 çift sayı seçilmesi koşulu iki alt durumda incelenir:
1) Tam 2 çift sayı ve 2 tek sayı seçilmesi: (32)⋅(42)=3⋅6=18\binom{3}{2} \cdot \binom{4}{2} = 3 \cdot 6 = 18 durum.
2) Tam 3 çift sayı ve 1 tek sayı seçilmesi: (33)⋅(41)=1⋅4=4\binom{3}{3} \cdot \binom{4}{1} = 1 \cdot 4 = 4 durum. Bu iki durumun toplamı 18+4=2218 + 4 = 22 olur.

Anahtar Kavram

Koşullu Kombinasyon ve Sıralama Bağımsız Seçimler

Alternatif Yöntem

Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak da sonuca ulaşabiliriz. Seçilebilecek tüm 4 elemanlı grupların sayısı (74)=35\binom{7}{4} = 35'tir. İstenmeyen durumlar, şifrede 2'den az çift sayı bulunmasıdır:
1) Hiç çift sayı bulunmaması (4 tek sayı seçilmesi): (44)=1\binom{4}{4} = 1 durum.
2) Sadece 1 çift sayı bulunması (1 çift, 3 tek sayı seçilmesi): (31)⋅(43)=3⋅4=12\binom{3}{1} \cdot \binom{4}{3} = 3 \cdot 4 = 12 durum.
İstenen durum sayısı = Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar = 35−(1+12)=2235 - (1 + 12) = 22 olarak hesaplanır.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyon

Bu konudan daha fazla soru