Examkin

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

63 soru

Tüm türler63Çoktan seçmeli32Sıralama31
Soru 61Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x−cos⁡xb=tan⁡x−cot⁡xc=cos⁡x−cot⁡x\begin{aligned} a &= \sin x - \cos x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \cos x - \cot x \end{aligned}
ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama b < c < a şeklindedir.
Verilen aralık ikinci bölgede yer aldığından tanjant değeri kotanjant değerinden daha küçüktür, bu yüzden farkları olan ikinci ifade negatiftir. Üçüncü ifade çarpanlarına ayrıldığında iki negatif ifadenin çarpımı olarak pozitif fakat 1'den küçük bir değer verir. Birinci ifade ise pozitif bir değerden negatif bir değer çıkarıldığı için pozitif ve 1'den büyüktür. Bu durumda en küçük ikinci ifade, ardından üçüncü ifade ve en büyük birinci ifade şeklinde sıralanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen aralığa göre temel fonksiyonların işaretlerini ve sınır değerlerini belirleyin.
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı ikinci bölgededir. Bu aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x<−1\tan x < -1 ve −1<cot⁡x<0-1 < \cot x < 0 olur.
Sıralama yapılacak ifadelerdeki bileşenlerin sınırlarını saptamak için.
2
b=tan⁡x−cot⁡xb = \tan x - \cot x ifadesinin işaretini belirleyin.
tan⁡x<−1\tan x < -1 ve cot⁡x>−1\cot x > -1 olduğundan tan⁡x<cot⁡x\tan x < \cot x yazılır. Dolayısıyla b=tan⁡x−cot⁡x<0b = \tan x - \cot x < 0 bulunur.
Küçük değerden büyük değer çıkarıldığında sonucun negatif olduğunu belirlemek için.
3
c=cos⁡x−cot⁡xc = \cos x - \cot x ifadesinin değer aralığını çarpanlara ayırma yöntemiyle analiz edin.
c=cos⁡x−cos⁡xsin⁡x=cos⁡x(1−1sin⁡x)c = \cos x - \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x \left(1 - \frac{1}{\sin x}\right) olarak yazılır. sin⁡x∈(22,1)\sin x \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right) olduğundan 1sin⁡x>1\frac{1}{\sin x} > 1 ve 1−1sin⁡x<01 - \frac{1}{\sin x} < 0 olur. Negatif olan cos⁡x\cos x ile bu negatif ifadenin çarpımı pozitif sonuç verir: c>0c > 0. Çarpanların sınırlarından c<2−22≈0.293c < \frac{2-\sqrt{2}}{2} \approx 0.293 olduğu görülür.
cc değerinin işaretini ve üst sınırını belirlemek için.
4
a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x ifadesini analiz edip cc değeriyle karşılaştırın.
a=sin⁡x−cos⁡x=2sin⁡(x−π4)a = \sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) şeklinde yazılabilir. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) için (x−π4)∈(π4,π2)\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olur. Bu aralıkta sinüs değeri 22\frac{\sqrt{2}}{2}'den büyük olduğundan a>1a > 1 elde edilir. Bu durumda b<0<c<1<ab < 0 < c < 1 < a sıralaması kesinleşir.
Pozitif olan iki değerden hangisinin daha büyük olduğunu belirlemek için.

Anahtar Kavram

Bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve değer aralıklarının karşılaştırılması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 62Soru →
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)
olmak üzere,
a=sin⁡x+cos⁡xb=tan⁡x+cot⁡xc=sin⁡x⋅cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x + \cos x \\ b &= \tan x + \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}
olarak tanımlanıyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama c, a, b şeklindedir.
Verilen aralıkta terimlerin değer aralıkları sırasıyla c∈(0,0,5)c \in (0, 0,5), a∈(1,2)a \in (1, \sqrt{2}) ve b∈(2,∞)b \in (2, \infty) olarak belirlenir. Bu aralıkların karşılaştırılması sonucunda doğru sıralama en küçükten en büyüğe doğru sırasıyla cc, aa ve bb şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
cc ifadesinin değer aralığını bulmak için yarım açı formülü kullanılır.
c=sin⁡2x2c = \frac{\sin 2x}{2} olur. x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) ise 2x∈(π2,π)2x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olur. İkinci bölgede sinüs pozitif olduğundan 0<sin⁡2x<10 < \sin 2x < 1 aralığındadır. Buradan 0<c<0,50 < c < 0,5 elde edilir.
Çarpım durumundaki ifadeyi tek bir trigonometrik fonksiyona dönüştürmek sınır analizini kolaylaştırır.
2
aa ifadesinin sınırlarını belirlemek için ifadenin karesi alınır.
a2=sin⁡2x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=1+sin⁡2xa^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x\cos x = 1 + \sin 2x elde edilir. 0<sin⁡2x<10 < \sin 2x < 1 aralığında olduğundan 1<a2<21 < a^2 < 2 olur. Karekök alındığında ise 1<a<21 < a < \sqrt{2} aralığı bulunur.
Toplam şeklindeki sinüs ve kosinüs ifadelerinin değer aralığı kare alma yöntemiyle tespit edilebilir.
3
bb ifadesi temel özdeşlikler kullanılarak sadeleştirilir.
b=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=1sin⁡xcos⁡x=2sin⁡2xb = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} bulunur. 0<sin⁡2x<10 < \sin 2x < 1 olduğundan b>2b > 2 elde edilir.
Tanjant ve kotanjant toplamını sinüs cinsinden tek bir rasyonel ifadeye dönüştürmek sınır değerini bulmayı sağlar.
4
Elde edilen üç değer aralığı karşılaştırılarak sıralama tamamlanır.
c∈(0,0,5)c \in (0, 0,5), a∈(1,2)a \in (1, \sqrt{2}) ve b∈(2,∞)b \in (2, \infty) olduğundan sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Değer aralıkları ayrık kümeler oluşturduğu için kesin bir sıralama yapılabilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 63Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1−sin⁡x1+sin⁡x−1+sin⁡x1−sin⁡x\sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}} - \sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2tan⁡x2\tan x

Cevap

2tan⁡x2\tan x
Üçüncü bölgede kosinüs negatif olduğu için kök dışına çıkarılırken eksi ile çarpılarak çıkar. Paylar ortak paydada sadeleştirildiğinde pay kısmında −2sin⁡x-2\sin x, paydada ise −cos⁡x-\cos x kalır ve oranlandığında 2tan⁡x2\tan x elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kesirlerin paydalarını rasyonel yapmak için her iki köklü ifadeyi paydalarının eşlenikleriyle genişletelim.
(1−sin⁡x)21−sin⁡2x−(1+sin⁡x)21−sin⁡2x\sqrt{\frac{(1-\sin x)^2}{1-\sin^2 x}} - \sqrt{\frac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2 x}}
Ortak payda elde etmek ve kök dışına çıkarmayı kolaylaştırmak.
2
1−sin⁡2x=cos⁡2x1-\sin^2 x = \cos^2 x özdeşliğini yazıp ifadeleri kök dışına mutlak değerli olarak çıkaralım.
∣1−sin⁡x∣∣cos⁡x∣−∣1+sin⁡x∣∣cos⁡x∣\frac{|1-\sin x|}{|\cos x|} - \frac{|1+\sin x|}{|\cos x|}
A2=∣A∣\sqrt{A^2} = |A| kuralını uygulamak.
3
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında (3. bölgede) trigonometrik fonksiyonların işaretlerini inceleyelim.
∣cos⁡x∣=−cos⁡x|\cos x| = -\cos x, ∣1−sin⁡x∣=1−sin⁡x|1-\sin x| = 1-\sin x ve ∣1+sin⁡x∣=1+sin⁡x|1+\sin x| = 1+\sin x olduğundan ifade 1−sin⁡x−cos⁡x−1+sin⁡x−cos⁡x\frac{1-\sin x}{-\cos x} - \frac{1+\sin x}{-\cos x} olur.
3. bölgede kosinüs negatif, sinüs ise −1-1 ile 00 arasında değer aldığından mutlak değer içindeki ifadelerin işaretlerini belirlemek.
4
Elde edilen rasyonel ifadeleri ortak paydada birleştirip sadeleştirelim.
1−sin⁡x−(1+sin⁡x)−cos⁡x=−2sin⁡x−cos⁡x=2tan⁡x\frac{1-\sin x - (1+\sin x)}{-\cos x} = \frac{-2\sin x}{-\cos x} = 2\tan x
İşlemleri tamamlayarak en sade biçime ulaşmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre İşaret İncelemesi
ÖncekiSayfa 4 / 4
Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 4 | Examkin