Examkin

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

63 soru

Tüm türler63Çoktan seçmeli32Sıralama31
Soru 41Soru →
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
a=cos⁡x−sin⁡xa = \cos x - \sin x
b=tan⁡x−cot⁡xb = \tan x - \cot x
c=sec⁡x−csc⁡xc = \sec x - \csc x

olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a<c<ba < c < b

Cevap

Doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
Verilen aralıkta sinüs kosinüsten büyük olduğu için a=cos⁡x−sin⁡xa = \cos x - \sin x negatif bir değer alır. Sekant ve kosekant farkı olan c=sec⁡x−csc⁡xc = \sec x - \csc x ile tanjant ve kotanjant farkı olan b=tan⁡x−cot⁡xb = \tan x - \cot x ifadeleri ise pozitif değerler üretir. Bu iki pozitif değer rasyonel biçimde yazılıp birbirine oranlandığında, b=c(sin⁡x+cos⁡x)b = c(\sin x + \cos x) eşitliği elde edilir. Bu aralıkta sin⁡x+cos⁡x>1\sin x + \cos x > 1 olduğundan, pozitif bir sayı olan cc değeri, 1'den büyük bir katsayı ile çarpılarak daha büyük olan bb değerine ulaşır. Dolayısıyla en doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Aralıktaki temel trigonometrik fonksiyonların ilişkilerini belirleme
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) aralığında sinüs değeri kosinüs değerinden büyüktür: sin⁡x>cos⁡x>0\sin x > \cos x > 0. Benzer şekilde tanjant değeri 1'den büyük, kotanjant değeri ise 1'den küçüktür: tan⁡x>1>cot⁡x>0\tan x > 1 > \cot x > 0.
Değişkenlerin işaretlerini ve bağıl büyüklüklerini analiz etmek için referans noktaları oluşturulur.
2
aa, bb ve cc değerlerinin işaretlerini tespit etme
sin⁡x>cos⁡x  ⟹  a=cos⁡x−sin⁡x<0\sin x > \cos x \implies a = \cos x - \sin x < 0 (negatif)
tan⁡x>cot⁡x  ⟹  b=tan⁡x−cot⁡x>0\tan x > \cot x \implies b = \tan x - \cot x > 0 (pozitif)
sec⁡x=1cos⁡x\sec x = \frac{1}{\cos x} ve csc⁡x=1sin⁡x\csc x = \frac{1}{\sin x} ifadelerinde sin⁡x>cos⁡x>0  ⟹  1cos⁡x>1sin⁡x  ⟹  sec⁡x>csc⁡x  ⟹  c=sec⁡x−csc⁡x>0\sin x > \cos x > 0 \implies \frac{1}{\cos x} > \frac{1}{\sin x} \implies \sec x > \csc x \implies c = \sec x - \csc x > 0 (pozitif)
Negatif olan terimi belirleyerek sıralamanın en küçük elemanını saptamak amaçlanır.
3
Pozitif olan bb ve cc ifadelerini cebirsel özdeşlikler yardımıyla karşılaştırma
b=tan⁡x−cot⁡x=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡xb = \tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}
c=sec⁡x−csc⁡x=1cos⁡x−1sin⁡x=sin⁡x−cos⁡xsin⁡xcos⁡xc = \sec x - \csc x = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x}

bb ifadesinin payındaki iki kare farkı açılırsa:
b=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡xcos⁡x=c⋅(sin⁡x+cos⁡x)b = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x \cos x} = c \cdot (\sin x + \cos x) elde edilir.

x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) aralığında sin⁡x>22\sin x > \frac{\sqrt{2}}{2} ve cos⁡x>0\cos x > 0 olduğundan sin⁡x+cos⁡x>1\sin x + \cos x > 1 olur. c>0c > 0 olduğuna göre, b=c⋅(1’den bu¨yu¨k bir sayı)  ⟹  b>cb = c \cdot (\text{1'den büyük bir sayı}) \implies b > c bulunur.
Ortak paydalı rasyonel ifadeleri sadeleştirip karşılaştırmak için özdeşliklerden faydalanılır.
4
Bulunan tüm eşitsizlikleri birleştirerek sıralamayı tamamlama
a<0a < 0, c>0c > 0, b>0b > 0 ve b>cb > c olduğundan a<c<ba < c < b sıralaması elde edilir.
Elde edilen tüm bölgesel ve cebirsel sonuçlar birleştirilerek nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre sıralanması ve temel trigonometrik özdeşliklerin cebirsel analizde kullanılması

Alternatif Yöntem

Alternatif bir yöntem olarak, verilen aralıkta bulunan özel bir açı seçilerek sıralama yapılabilir. Örneğin, x=60∘x = 60^\circ (π3\frac{\pi}{3} radyan) seçilsin:

sin⁡60∘=32≈0.87\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.87
cos⁡60∘=0.5\cos 60^\circ = 0.5
tan⁡60∘=3≈1.73\tan 60^\circ = \sqrt{3} \approx 1.73
cot⁡60∘=33≈0.58\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.58
sec⁡60∘=2\sec 60^\circ = 2
csc⁡60∘=233≈1.15\csc 60^\circ = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.15

Bu değerler yerine yazıldığında:
a=0.5−0.87=−0.37a = 0.5 - 0.87 = -0.37
b=1.73−0.58=1.15b = 1.73 - 0.58 = 1.15
c=2−1.15=0.85c = 2 - 1.15 = 0.85

Değerler kıyaslandığında −0.37<0.85<1.15  ⟹  a<c<b-0.37 < 0.85 < 1.15 \implies a < c < b sıralamasına doğrudan ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 42Soru →
a=cos⁡(190∘)a = \cos(190^\circ)
b=sin⁡(290∘)b = \sin(290^\circ)
c=tan⁡(200∘)c = \tan(200^\circ)

olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a<b<ca < b < c

Cevap

Doğru sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.
Üçüncü bölgede yer alan c=tan⁡(200∘)c = \tan(200^\circ) ifadesinin değeri pozitiftir (c>0c > 0). Negatif olan aa ve bb ifadeleri dar açıya indirgendiğinde a=−cos⁡(10∘)a = -\cos(10^\circ) ve b=−cos⁡(20∘)b = -\cos(20^\circ) olur. Birinci bölgede cos⁡(10∘)>cos⁡(20∘)\cos(10^\circ) > \cos(20^\circ) olduğundan, negatif işaretler eklendiğinde −cos⁡(10∘)<−cos⁡(20∘)-\cos(10^\circ) < -\cos(20^\circ) olur. Bu durumda a<ba < b elde edilir. Pozitif olan cc değeri en büyük olduğundan doğru sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların bulundukları bölgeleri ve fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini belirleyelim.
190∘190^\circ açısı III. bölgede olduğundan a=cos⁡(190∘)<0a = \cos(190^\circ) < 0 (negatif) olur.
290∘290^\circ açısı IV. bölgede olduğundan b=sin⁡(290∘)<0b = \sin(290^\circ) < 0 (negatif) olur.
200∘200^\circ açısı III. bölgede olduğundan c=tan⁡(200∘)>0c = \tan(200^\circ) > 0 (pozitif) olur.
Sıralama yaparken ilk olarak değerlerin işaretlerini belirlemek, pozitif ve negatif grupları ayırmamızı sağlar.
2
Negatif olan aa ve bb değerlerini kıyaslayabilmek için birinci bölgeye indirgeyelim.
a=cos⁡(190∘)=cos⁡(180∘+10∘)=−cos⁡(10∘)a = \cos(190^\circ) = \cos(180^\circ + 10^\circ) = -\cos(10^\circ)
b=sin⁡(290∘)=sin⁡(270∘+20∘)=−cos⁡(20∘)b = \sin(290^\circ) = \sin(270^\circ + 20^\circ) = -\cos(20^\circ) olur.
Farklı bölgelerdeki negatif değerleri karşılaştırmak için onları aynı türden dar açıların negatifleri olarak ifade etmemiz gerekir.
3
Birinci bölgede kosinüs fonksiyonunun azalan olduğunu kullanarak aa ve bb değerlerini karşılaştıralım.
0∘<10∘<20∘<90∘0^\circ < 10^\circ < 20^\circ < 90^\circ olduğundan cos⁡(10∘)>cos⁡(20∘)>0\cos(10^\circ) > \cos(20^\circ) > 0 olur.
Eşitsizliği −1-1 ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir: −cos⁡(10∘)<−cos⁡(20∘)-\cos(10^\circ) < -\cos(20^\circ) yani a<ba < b elde edilir.
Kosinüs fonksiyonu birinci bölgede açı büyüdükçe küçülen (azalan) bir fonksiyondur. Negatif sayılarda ise mutlak değerce büyük olan sayı daha küçüktür.
4
Elde edilen tüm karşılaştırmaları birleştirerek nihai sıralamayı yazalım.
a<b<0a < b < 0 ve c>0c > 0 olduğundan, doğru sıralama a<b<ca < b < c olur.
Negatif sayılar her zaman pozitif sayılardan küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve dar açıya indirgenerek sıralanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 43Soru →

Aşağıda verilen aa, bb, cc ve dd trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Doğru sıralama d < b < c < a şeklindedir.
Kotanjantın negatif olması dd değerini en küçük yapar. Diğer pozitif terimlerin birinci bölgeye indirgenmiş halleri b=sin⁡(20∘)b = \sin(20^\circ), c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) ve a=sin⁡(80∘)a = \sin(80^\circ) şeklindedir. Birinci bölgede sinüsün tanjanttan küçük olması ve yarım açı analizinden sin⁡(80∘)>tan⁡(40∘)\sin(80^\circ) > \tan(40^\circ) gelmesi nedeniyle doğru sıralama d<b<c<ad < b < c < a olur.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik ifadelerin bölgelerini belirleyip işaret analizi yapma.
d=cot⁡(310∘)<0d = \cot(310^\circ) < 0 (IV. bölge), b=cos⁡(290∘)>0b = \cos(290^\circ) > 0 (IV. bölge), c=tan⁡(220∘)>0c = \tan(220^\circ) > 0 (III. bölge) ve a=sin⁡(100∘)>0a = \sin(100^\circ) > 0 (II. bölge) bulunur.
Negatif olan dd değerinin en küçük terim olduğunu saptamak için.
2
Pozitif değerleri I. bölgedeki dar açılara indirgeme.
b=sin⁡(20∘)b = \sin(20^\circ), c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) ve a=sin⁡(80∘)a = \sin(80^\circ) değerleri elde edilir.
Birinci bölgede bilinen sıralama kurallarını ve trigonometrik özdeşlikleri uygulayabilmek için.
3
b=sin⁡(20∘)b = \sin(20^\circ) ile c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) değerlerini karşılaştırma.
0<x<90∘0 < x < 90^\circ için sin⁡x<tan⁡x\sin x < \tan x olduğundan sin⁡(20∘)<tan⁡(20∘)\sin(20^\circ) < \tan(20^\circ)'dir. Tanjant fonksiyonu birinci bölgede artan olduğundan tan⁡(20∘)<tan⁡(40∘)\tan(20^\circ) < \tan(40^\circ) olur. Buradan b<cb < c elde edilir.
Sinüs ve tanjant fonksiyonlarının birinci bölgedeki davranışlarını kıyaslamak için.
4
c=tan⁡(40∘)c = \tan(40^\circ) ile a=sin⁡(80∘)a = \sin(80^\circ) değerlerini karşılaştırma.
sin⁡(80∘)=2sin⁡(40∘)cos⁡(40∘)\sin(80^\circ) = 2 \sin(40^\circ) \cos(40^\circ) yarım açı açılımı ile tan⁡(40∘)=sin⁡(40∘)cos⁡(40∘)\tan(40^\circ) = \frac{\sin(40^\circ)}{\cos(40^\circ)} kıyaslanır. İki ifade oranlandığında sin⁡(80∘)tan⁡(40∘)=2cos⁡2(40∘)\frac{\sin(80^\circ)}{\tan(40^\circ)} = 2 \cos^2(40^\circ) elde edilir. 40∘<45∘40^\circ < 45^\circ olduğundan cos⁡(40∘)>cos⁡(45∘)=22\cos(40^\circ) > \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} ve dolayısıyla cos⁡2(40∘)>12\cos^2(40^\circ) > \frac{1}{2} olur. Buradan 2cos⁡2(40∘)>12\cos^2(40^\circ) > 1 yani a>ca > c elde edilir.
Yarım açı formülü yardımıyla iki pozitif değer arasındaki kesin büyüklük ilişkisini kurmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik değerlerin bölgelere göre işaretleri, indirgeme formülleri ve birinci bölgedeki büyüklük ilişkileri.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 44Soru →
x∈(3π2,2π)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) olmak üzere,
a=sin⁡x⋅cos⁡xb=sin⁡xtan⁡xc=cos⁡xcot⁡x\begin{aligned} a &= \sin x \cdot \cos x \\ b &= \frac{\sin x}{\tan x} \\ c &= \frac{\cos x}{\cot x} \end{aligned}

olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c<a<bc < a < b

Cevap

c<a<bc < a < b sıralaması doğrudur.
Verilen ifadeler sadeleştirildiğinde b=cos⁡xb = \cos x ve c=sin⁡xc = \sin x elde edilir. Dördüncü bölgede cos⁡x\cos x pozitif, sin⁡x\sin x ise negatif değer alır. Bu nedenle b>0b > 0 olup en büyük değerdir. Negatif olan a=sin⁡xcos⁡xa = \sin x \cos x ve c=sin⁡xc = \sin x değerlerini karşılaştırmak için, 0<cos⁡x<10 < \cos x < 1 eşitsizliğinin her iki tarafı negatif bir sayı olan sin⁡x\sin x ile çarpılır. Bu işlem eşitsizliği yön değiştirerek sin⁡xcos⁡x>sin⁡x\sin x \cos x > \sin x yani a>ca > c haline getirir. Sonuç olarak doğru sıralama en küçükten büyüğe c<a<bc < a < b olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen trigonometrik ifadeleri temel kimlikleri kullanarak sadeleştirin.
b=sin⁡xtan⁡x=sin⁡xsin⁡xcos⁡x=cos⁡xb = \frac{\sin x}{\tan x} = \frac{\sin x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \cos x ve c=cos⁡xcot⁡x=cos⁡xcos⁡xsin⁡x=sin⁡xc = \frac{\cos x}{\cot x} = \frac{\cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}} = \sin x olarak bulunur. a=sin⁡x⋅cos⁡xa = \sin x \cdot \cos x ifadesi ise aynı kalır.
İfadeleri birbiriyle kıyaslayabilmek adına en sade biçimlerine dönüştürmek gerekir.
2
Değişkenin tanımlı olduğu bölgeye göre temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve değer aralıklarını analiz edin.
x∈(3π2,2π)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) aralığı koordinat düzleminde 4. bölgeye aittir. Bu bölgede: sin⁡x<0\sin x < 0 (negatif) ve 0<cos⁡x<10 < \cos x < 1 (pozitif) olur.
İfadelerin işaret ve büyüklüklerini belirlemek için bölge analizi şarttır.
3
Bulunan işaret ve değer aralıklarını kullanarak değerleri sıralayın.
b=cos⁡x>0b = \cos x > 0 olduğundan en büyük değer bb olur. sin⁡x\sin x ile cos⁡x\cos x zıt işaretli olduğundan çarpımları a=sin⁡x⋅cos⁡x<0a = \sin x \cdot \cos x < 0 olur. Negatif olan aa ve cc değerlerini kıyaslamak için 0<cos⁡x<10 < \cos x < 1 eşitsizliğinin her iki tarafı negatif olan sin⁡x\sin x ile çarpılırsa eşitsizlik yön değiştirir: sin⁡x⋅cos⁡x>sin⁡x⇒a>c\sin x \cdot \cos x > \sin x \Rightarrow a > c olur. Buradan c<a<bc < a < b sıralamasına ulaşılır.
Kosinüsün pozitif basit kesir olması ve sinüsün negatif olması özelliklerinden yararlanarak sıralamayı tamamlamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirme ve birim çember üzerindeki bölgelere göre trigonometrik değerlerin sıralanması.
Soru 45Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1−cos⁡x1+cos⁡x+1+cos⁡x1−cos⁡x\sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} + \sqrt{\frac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −2csc⁡x-2\csc x

Cevap

−2csc⁡x-2\csc x ifadesini içeren seçenek doğrudur.
Verilen ifadeyi rasyonel hale getirmek için eşleniklerle çarptığımızda paydada sin⁡2x\sin^2 x elde ederiz. Bu ifade kök dışına ∣sin⁡x∣|\sin x| olarak çıkar. xx açısı üçüncü bölgede yer aldığı için sin⁡x\sin x negatif değer alır ve mutlak değerden −sin⁡x-\sin x olarak kurtulur. Pay kısmındaki mutlak değerli ifadeler ise pozitif olduklarından aynen çıkarlar. Toplama işlemi yapıldığında cos⁡x\cos x terimleri birbirini götürür ve pay kısmında 22 kalır. Paydada −sin⁡x-\sin x olduğu için sonuç −2csc⁡x-2\csc x olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Köklü ifadelerin paydalarını rasyonel yapmak için pay ve paydayı eşlenikleriyle genişletelim.
(1−cos⁡x)2(1+cos⁡x)(1−cos⁡x)+(1+cos⁡x)2(1−cos⁡x)(1+cos⁡x)=(1−cos⁡x)21−cos⁡2x+(1+cos⁡x)21−cos⁡2x\sqrt{\frac{(1 - \cos x)^2}{(1 + \cos x)(1 - \cos x)}} + \sqrt{\frac{(1 + \cos x)^2}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}} = \sqrt{\frac{(1 - \cos x)^2}{1 - \cos^2 x}} + \sqrt{\frac{(1 + \cos x)^2}{1 - \cos^2 x}}
Paydaları ortak bir paydaya (yani sin⁡2x\sin^2 x ifadesine) dönü��türerek tek paydada yazabilmek için.
2
1−cos⁡2x=sin⁡2x1 - \cos^2 x = \sin^2 x özdeşliğini kullanalım ve ifadeleri kök dışına mutlak değerli olarak çıkaralım.
(1−cos⁡x)2sin⁡2x+(1+cos⁡x)2sin⁡2x=∣1−cos⁡x∣∣sin⁡x∣+∣1+cos⁡x∣∣sin⁡x∣\sqrt{\frac{(1 - \cos x)^2}{\sin^2 x}} + \sqrt{\frac{(1 + \cos x)^2}{\sin^2 x}} = \frac{|1 - \cos x|}{|\sin x|} + \frac{|1 + \cos x|}{|\sin x|}
Çift dereceli kök dışına çıkan ifadelerin mutlak değerli olarak yazılması gerektiği kuralını uygulamak için.
3
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığına (3. bölge) göre mutlak değerlerin işaretlerini belirleyelim.
3. bölgede cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan 1−cos⁡x>01 - \cos x > 0 ve 1+cos⁡x>01 + \cos x > 0 olur. Dolayısıyla ∣1−cos⁡x∣=1−cos⁡x|1 - \cos x| = 1 - \cos x ve ∣1+cos⁡x∣=1+cos⁡x|1 + \cos x| = 1 + \cos x olarak çıkar. Yine 3. bölgede sin⁡x<0\sin x < 0 olduğundan ∣sin⁡x∣=−sin⁡x|\sin x| = -\sin x olarak çıkar.
Mutlak değerli ifadeleri aralığın işaret özelliklerine göre mutlak değer dışına çıkarmak için.
4
Belirlediğimiz işaretlerle ifadeleri yerlerine yazıp toplayalım.
1−cos⁡x−sin⁡x+1+cos⁡x−sin⁡x=1−cos⁡x+1+cos⁡x−sin⁡x=2−sin⁡x=−2csc⁡x\frac{1 - \cos x}{-\sin x} + \frac{1 + \cos x}{-\sin x} = \frac{1 - \cos x + 1 + \cos x}{-\sin x} = \frac{2}{-\sin x} = -2\csc x
İfadeyi en sade biçime getirmek için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik özdeşlikler, bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve köklü ifadelerin mutlak değer ile dışarı çıkarılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 46Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x+cos⁡xb=tan⁡x+cot⁡xc=sin⁡x⋅cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x + \cos x \\ b &= \tan x + \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}
olarak veriliyor. Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.
Verilen aralıkta bb ifadesi iki negatif sayının toplamı olup en küçük değeri alır (b≤−2b \le -2). cc ifadesi biri pozitif diğeri negatif iki sayının çarpımı olup negatif bir değerdir fakat −0.5-0.5 ile 00 arasındadır. aa ifadesinde ise sinüs mutlak değerce kosinüsten büyük olduğu için toplam pozitiftir (a>0a > 0). Bu nedenle en küçük değer bb, ardından cc ve en büyük değer aa olup doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bulunduğu aralığa göre trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirleme
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı 2. bölgenin ilk yarısına (90∘<x<135∘90^\circ < x < 135^\circ) karşılık gelir. Bu aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x<0\tan x < 0 ve cot⁡x<0\cot x < 0 olur.
Trigonometrik ifadelerin işaretlerini ve birbirlerine kıyasla mutlak değer büyüklüklerini belirlemek sıralamanın ilk adımıdır.
2
Verilen ifadelerin değer aralıklarını analiz etme
a=sin⁡x+cos⁡xa = \sin x + \cos x ifadesinde sin⁡x>∣cos⁡x∣\sin x > |\cos x| olduğundan toplam pozitif olur (a>0a > 0). b=tan⁡x+cot⁡xb = \tan x + \cot x ifadesinde her iki terim de negatif olduğundan toplam negatiftir; ayrıca ∣tan⁡x∣+∣cot⁡x∣≥2|\tan x| + |\cot x| \ge 2 olduğundan b≤−2b \le -2 elde edilir. c=sin⁡x⋅cos⁡x=12sin⁡(2x)c = \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x) ifadesinde 2x∈(π,3π2)2x \in (\pi, \frac{3\pi}{2}) olduğundan üçüncü bölgedeki sinüs değerine bağlı olarak −0.5<c<0-0.5 < c < 0 bulunur.
Her bir ifadenin sayı doğrusundaki yerini belirlemek için trigonometrik özdeşlikler ve eşitsizlikler kullanılır.
3
Değerleri karşılaştırarak nihai sıralamaya ulaşma
b≤−2<c<0<ab \le -2 < c < 0 < a aralıkları birleştirildiğinde küçükten büyüğe sıralama b<c<ab < c < a olur.
Elde edilen değer aralıkları kesişmediği için kesin bir sıralama yapılmasına olanak tanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Değerlerin İşaretleri ve Bölgeye Göre Sıralanması

Alternatif Yöntem

Verilen aralıktan özel bir değer seçilerek (örneğin x=120∘x = 120^\circ) değerler doğrudan hesaplanabilir: a=3−12≈0.366a = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \approx 0.366, b=−3−13≈−2.31b = -\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \approx -2.31, c=−34≈−0.433c = -\frac{\sqrt{3}}{4} \approx -0.433 bulunur ve buradan b<c<ab < c < a sıralaması kolaylıkla görülebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 47Soru →
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olmak üzere,
a=cos⁡x−sin⁡xb=cot⁡x−csc⁡xc=tan⁡x−sec⁡x\begin{aligned} a &= \cos x - \sin x \\ b &= \cot x - \csc x \\ c &= \tan x - \sec x \end{aligned}

olduğuna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b < a < c

Cevap

Doğru sıralama b < a < c şeklindedir.
Doğru sıralama b < a < c şeklindedir. İkinci bölgede kosinüs negatif ve sinüs pozitif olduğundan, a = cos x - sin x farkı negatiftir. c = tan x - sec x ifadesi sadeleştirildiğinde (sin x - 1) / cos x elde edilir; pay ve payda negatif olduğundan c pozitiftir. b = cot x - csc x ifadesi ise (cos x - 1) / sin x olup negatiftir ve a ile kıyaslandığında a'dan daha küçük olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
İkinci bölgedeki açıların trigonometrik fonksiyonlarının işaretlerini belirleme.
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) aralığında sinüs pozitif (sin⁡x>0\sin x > 0), kosinüs negatif (cos⁡x<0\cos x < 0), tanjant negatif (tan⁡x<0\tan x < 0), kotanjant negatif (cot⁡x<0\cot x < 0), sekant negatif (sec⁡x<0\sec x < 0) ve kosekant pozitiftir (csc⁡x>0\csc x > 0).
İfadelerin işaretlerini ve değer aralıklarını doğru analiz edebilmek için açı bölgesine göre işaret tayini yapılması gerekir.
2
a, b ve c ifadelerinin işaretlerini ve sadeleşmiş biçimlerini inceleme.
a=cos⁡x−sin⁡xa = \cos x - \sin x ifadesinde; cos⁡x<0\cos x < 0 ve sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan, negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarılmaktadır. Bu yüzden a<0a < 0 olur.

b=cot⁡x−csc⁡x=cos⁡xsin⁡x−1sin⁡x=cos⁡x−1sin⁡xb = \cot x - \csc x = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\cos x - 1}{\sin x} ifadesinde; cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan cos⁡x−1<0\cos x - 1 < 0'dır. Payda olan sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan, pay negatif ve payda pozitif olup b<0b < 0 olur.

c=tan⁡x−sec⁡x=sin⁡xcos⁡x−1cos⁡x=sin⁡x−1cos⁡xc = \tan x - \sec x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{1}{\cos x} = \frac{\sin x - 1}{\cos x} ifadesinde; sin⁡x<1\sin x < 1 olduğundan sin⁡x−1<0\sin x - 1 < 0'dır. Payda olan cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan, negatifin negatife bölümünden c>0c > 0 olur.
İfadelerin pozitiflik-negatiflik durumlarını belirleyerek genel bir sıralama çerçevesi çizmek.
3
Negatif olan a ve b değerlerini karşılaştırarak sıralamayı tamamlama.
c>0c > 0 olduğundan en büyük değer c'dir. Negatif olan a ve b değerlerini kıyaslamak için farklarına bakarız:
a−b=(cos⁡x−sin⁡x)−cos⁡x−1sin⁡x=sin⁡xcos⁡x−sin⁡2x−cos⁡x+1sin⁡xa - b = (\cos x - \sin x) - \frac{\cos x - 1}{\sin x} = \frac{\sin x \cos x - \sin^2 x - \cos x + 1}{\sin x}
Pay kısmını düzenlersek:
sin⁡xcos⁡x+(1−sin⁡2x)−cos⁡x=sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x−cos⁡x=cos⁡x(sin⁡x+cos⁡x−1)\sin x \cos x + (1 - \sin^2 x) - \cos x = \sin x \cos x + \cos^2 x - \cos x = \cos x (\sin x + \cos x - 1)
İkinci bölgede cos⁡x<0\cos x < 0'dır. Ayrıca sin⁡x<1\sin x < 1 olduğundan sin⁡x−1<0\sin x - 1 < 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olduğundan bunların toplamı olan sin⁡x+cos⁡x−1<0\sin x + \cos x - 1 < 0 olur. İki negatif ifadenin çarpımı pozitif olduğundan pay kısmı pozitiftir. Payda olan sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan a−b>0a - b > 0 yani a>ba > b elde edilir.
Buna göre doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.
Her iki ifadenin de negatif olduğu durumda hangisinin sıfıra daha yakın (daha büyük) olduğunu kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve özdeşlikler yardımıyla değer sıralaması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 48Soru →
x∈(7π4,2π)x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right) olmak üzere,
a=sin⁡x−tan⁡xb=cos⁡x−cot⁡xc=sin⁡x−cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x - \tan x \\ b &= \cos x - \cot x \\ c &= \sin x - \cos x \end{aligned}
ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

c<a<bc < a < b
Verilen aralık IV. bölgeyi temsil eder. Bu bölgede c=sin⁡x−cos⁡xc = \sin x - \cos x ifadesi negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için kesinlikle negatiftir (c<0c < 0). a=sin⁡x−tan⁡xa = \sin x - \tan x ifadesinde tan⁡x<sin⁡x<0\tan x < \sin x < 0 olduğundan sonuç pozitiftir (a>0a > 0). b=cos⁡x−cot⁡xb = \cos x - \cot x ifadesinde ise cot⁡x<−1  ⟹  −cot⁡x>1\cot x < -1 \implies -\cot x > 1 ve cos⁡x>0\cos x > 0 olduğundan b>1b > 1 olur. Bu durumda doğru sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen xx açısının bölgesine göre temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini ve değer aralıklarını analiz etmek.
x∈(7π4,2π)x \in \left(\frac{7\pi}{4}, 2\pi\right) aralığı birim çemberde IV. bölgededir. Bu bölgede sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x>0\cos x > 0, tan⁡x<0\tan x < 0 ve cot⁡x<0\cot x < 0 değerlerini alır. Daha spesifik olarak −22<sin⁡x<0-\frac{\sqrt{2}}{2} < \sin x < 0, 22<cos⁡x<1\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x < 1, −1<tan⁡x<0-1 < \tan x < 0 ve cot⁡x<−1\cot x < -1 aralıklarındadır.
Toplama ve çıkarma içeren ifadelerin işaretlerini ve büyüklüklerini belirleyebilmek.
2
c=sin⁡x−cos⁡xc = \sin x - \cos x ifadesinin işaretini incelemek.
Negatif bir değer olan sin⁡x\sin x ifadesinden pozitif bir değer olan cos⁡x\cos x çıkarıldığında sonuç negatif olur. Yani c<0c < 0 elde edilir.
cc değerinin negatif olduğunu bularak sıralamadaki en küçük eleman olduğunu belirlemek.
3
a=sin⁡x−tan⁡xa = \sin x - \tan x ifadesinin işaretini incelemek.
IV. bölgede 0<cos⁡x<10 < \cos x < 1 olduğundan tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} ifadesi sin⁡x\sin x değerinden daha küçük (daha negatif) bir sayıdır. Dolayısıyla sin⁡x−tan⁡x>0\sin x - \tan x > 0 olur. Yani aa pozitiftir (a>0a > 0).
aa değerinin pozitif olduğunu bularak negatif olan cc değerinden büyük olduğunu belirlemek.
4
b=cos⁡x−cot⁡xb = \cos x - \cot x ifadesinin değer aralığını incelemek.
IV. bölgede cos⁡x>0\cos x > 0 ve cot⁡x<−1\cot x < -1 dir. Buradan −cot⁡x>1-\cot x > 1 olur. Pozitif olan cos⁡x\cos x ile 11'den büyük olan −cot⁡x-\cot x toplandığında b>1b > 1 elde edilir.
bb değerinin 11'den büyük olduğunu göstererek 0<a<10 < a < 1 aralığında kalan aa değerinden büyük olduğunu doğrulamak.
5
Elde edilen tüm işaret ve aralık bilgilerini birleştirerek sıralamayı tamamlamak.
c<0c < 0, 0<a<10 < a < 1 ve b>1b > 1 olduğundan küçükten büyüğe sıralama c<a<bc < a < b şeklindedir.
Nihai sıralamayı oluşturmak.

Anahtar Kavram

IV. bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve büyüklük ilişkilerini kullanarak sıralama yapma.
Soru 49Soru →
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
a=sin⁡2x−cos⁡2xb=tan⁡x−cot⁡xc=sec⁡x−csc⁡x\begin{aligned} a &= \sin^2 x - \cos^2 x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \sec x - \csc x \end{aligned}
sayıları veriliyor.
Buna göre; aa, bb ve cc sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a < c < b

Cevap

a < c < b sıralaması doğrudur.
Verilen aralıkta sinüs değeri kosinüs değerinden, tanjant değeri ise kotanjant değerinden büyüktür. Bu durum a>0a > 0 ve b>0b > 0 olmasını sağlar. İfadeler sadeleştirildiğinde b=c(sin⁡x+cos⁡x)b = c(\sin x + \cos x) ilişkisi elde edilir. Açı 45∘45^\circ ile 90∘90^\circ arasında olduğundan sinüs ile kosinüsün toplamı 11'den büyüktür ve bu nedenle b>cb > c olur. Benzer şekilde, c=a(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡xcos⁡xc = \frac{a}{(\sin x + \cos x)\sin x \cos x} bağıntısında payda 11'den küçük pozitif bir değer olduğu için c>ac > a sonucu çıkar. Bu iki durum birleştirildiğinde a<c<ba < c < b sıralaması bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bulunduğu aralığa göre fonksiyonların temel büyüklük ilişkilerini belirleme.
x∈(π4,π2)x \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olduğundan 45∘<x<90∘45^\circ < x < 90^\circ aralığındadır. Bu bölgede sin⁡x>cos⁡x>0\sin x > \cos x > 0 ve tan⁡x>1>cot⁡x>0\tan x > 1 > \cot x > 0 eşitsizlikleri geçerlidir.
Sıralama yapabilmek için öncelikle sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerinin birbirlerine göre durumlarını tespit etmeliyiz.
2
Verilen ifadeleri birbirleri cinsinden yazarak karşılaştırma yapma.
a=sin⁡2x−cos⁡2x>0a = \sin^2 x - \cos^2 x > 0 ve b=tan⁡x−cot⁡x=sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x−cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=asin⁡xcos⁡xb = \tan x - \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{a}{\sin x \cos x} olur. Bu aralıkta sin⁡xcos⁡x<12\sin x \cos x < \frac{1}{2} olduğundan 1sin⁡xcos⁡x>2\frac{1}{\sin x \cos x} > 2'dir. Dolayısıyla b>2a>ab > 2a > a elde edilir.
Değişkenleri ortak paydada birleştirerek sadeleştirmek ve aralarındaki katsayı ilişkisini bulmak sıralamayı kolaylaştırır.
3
Sekant ve kosekant farkı olan c değerini diğer ifadelerle ilişkilendirme.
c=sec⁡x−csc⁡x=1cos⁡x−1sin⁡x=sin⁡x−cos⁡xsin⁡xcos⁡xc = \sec x - \csc x = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x - \cos x}{\sin x \cos x} olur. Buradan b=(sin⁡x−cos⁡x)(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡xcos⁡x=c(sin⁡x+cos⁡x)b = \frac{(\sin x - \cos x)(\sin x + \cos x)}{\sin x \cos x} = c(\sin x + \cos x) bağıntısı kurulur. Bu aralıkta sin⁡x+cos⁡x>1\sin x + \cos x > 1 ve c>0c > 0 olduğundan b>cb > c olmalıdır. Ayrıca c=a(sin⁡x+cos⁡x)sin⁡xcos⁡xc = \frac{a}{(\sin x + \cos x)\sin x \cos x} ifadesinde payda 11'den küçük olduğundan c>ac > a bulunur. Sonuç olarak a<c<ba < c < b sıralamasına ulaşılır.
Cebirsel özdeşlikler kullanılarak tüm ifadelerin birbirine bağlı oranları incelenir ve kesin sıralama bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki değer aralıklarının belirlenmesi ve temel özdeşliklerin sadeleştirilerek sıralanması.

Alternatif Yöntem

Sıralamayı doğrulamak veya sınavda pratik çözüme ulaşmak için aralıkta bulunan özel bir açı değeri seçilebilir. Örneğin, x=60∘x = 60^\circ (π3\frac{\pi}{3} radyan) seçilirse; sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, tan⁡60∘=3\tan 60^\circ = \sqrt{3}, cot⁡60∘=33\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}, sec⁡60∘=2\sec 60^\circ = 2 ve csc⁡60∘=233\csc 60^\circ = \frac{2\sqrt{3}}{3} değerleri elde edilir. Buradan a=0,75−0,25=0,5a = 0,75 - 0,25 = 0,5, b=3−33=233≈1,15b = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1,15 ve c=2−233≈0,85c = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 0,85 bulunur. Bu değerlerin sıralaması doğrudan a<c<ba < c < b sonucunu verir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 50Soru →
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x⋅tan⁡xb=cos⁡x⋅cot⁡xc=sin⁡x⋅cos⁡x\begin{aligned} a &= \sin x \cdot \tan x \\ b &= \cos x \cdot \cot x \\ c &= \sin x \cdot \cos x \end{aligned}
ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.
Verilen aralıkta sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x negatif iken tan⁡x>1\tan x > 1 ve 0<cot⁡x<10 < \cot x < 1 olmaktadır. Bu durumda cc ifadesi iki negatifin çarpımından pozitif olur ve en büyüktür. aa ve bb değerleri negatif olup, a−ba - b farkının negatif çıkmasından ötürü a<ba < b sıralaması elde edilir. Dolayısıyla doğru sıralama en küçükten en büyüğe a<b<ca < b < c şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığına göre trigonometrik fonksiyonların bölgelerdeki işaret ve büyüklüklerini belirlemek.
Bu aralıkta açı koordinat düzleminin 3. bölgesindedir. Dolayısıyla sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0 olur. Ayrıca bu alt aralıkta sin⁡x<cos⁡x<0\sin x < \cos x < 0 ve 0<cot⁡x<1<tan⁡x0 < \cot x < 1 < \tan x koşulları sağlanır.
Trigonometrik ifadelerin çarpımlarının yönünü ve işaretlerini tayin edebilmek için temel aralık özelliklerini belirlemek gerekir.
2
aa, bb ve cc değerlerinin işaretlerini incelemek.
a=sin⁡x⋅tan⁡xa = \sin x \cdot \tan x ifadesi negatif bir say�� ile 1'den büyük pozitif bir sayının çarpımı olduğundan negatiftir (a<0a < 0). b=cos⁡x⋅cot⁡xb = \cos x \cdot \cot x ifadesi negatif bir sayı ile 0 ile 1 arasındaki pozitif bir sayının çarpımı oldu��undan negatiftir (b<0b < 0). c=sin⁡x⋅cos⁡xc = \sin x \cdot \cos x ifadesi iki negatif sayının çarpımı olduğundan pozitiftir (c>0c > 0).
Pozitif olan cc değerinin en büyük olduğunu doğrudan görebilmek ve negatif olan aa ile bb değerlerini kendi arasında karşılaştırmak üzere gruplamak.
3
aa ve bb negatif sayılarının büyüklüklerini karşılaştırmak için a−ba - b farkını incelemek.
a−b=sin⁡2xcos⁡x−cos⁡2xsin⁡x=sin⁡3x−cos⁡3xsin⁡xcos⁡xa - b = \frac{\sin^2 x}{\cos x} - \frac{\cos^2 x}{\sin x} = \frac{\sin^3 x - \cos^3 x}{\sin x \cos x} ifadesinde, sin⁡x<cos⁡x<0\sin x < \cos x < 0 olduğundan pay kısmı sin⁡3x−cos⁡3x<0\sin^3 x - \cos^3 x < 0 olur. Payda ise sin⁡xcos⁡x>0\sin x \cos x > 0 olur. Dolayısıyla a−b<0a - b < 0 yani a<ba < b elde edilir.
Matematiksel olarak iki negatif ifadenin hangisinin daha küçük olduğunu fark yöntemiyle kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve değer aralıklarının karşılaştırılması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 51Soru →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
cos⁡2x1−sin⁡x−cos⁡2x1+sin⁡x=−65\frac{\cos^2 x}{1 - \sin x} - \frac{\cos^2 x}{1 + \sin x} = -\frac{6}{5}

eşitliği veriliyor.

Buna göre, cot⁡x−csc⁡x\cot x - \csc x ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3

Cevap

İfadenin değeri 3'tür.
Verilen rasyonel ifade sadeleştirildiğinde 2sin⁡x=−652\sin x = -\frac{6}{5} elde edilir. Buradan sin⁡x=−35\sin x = -\frac{3}{5} bulunur. xx açısı üçüncü bölgede yer aldığı için cos⁡x=−45\cos x = -\frac{4}{5} olur. Bu değerler yardımıyla üçüncü bölgede cot⁡x=43\cot x = \frac{4}{3} ve csc⁡x=−53\csc x = -\frac{5}{3} olarak hesaplanır. Farkları alındığında ise doğru değer olan 33 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen rasyonel ifadeleri ortak paydada buluşturarak çıkarma işlemini uygulayalım.
cos⁡2x(1+sin⁡x)−cos⁡2x(1−sin⁡x)(1−sin⁡x)(1+sin⁡x)=−65\frac{\cos^2 x(1 + \sin x) - \cos^2 x(1 - \sin x)}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} = -\frac{6}{5}
Rasyonel ifadelerde çıkarma işlemi yapabilmek için paydaları eşitlemek gerekir.
2
Payı dağıtıp düzenleyelim ve paydadaki 1−sin⁡2x1 - \sin^2 x yerine temel kimlik olan cos⁡2x\cos^2 x yazarak ifadeyi sadeleştirelim.
2cos⁡2xsin⁡xcos⁡2x=2sin⁡x=−65  ⟹  sin⁡x=−35\frac{2\cos^2 x \sin x}{\cos^2 x} = 2\sin x = -\frac{6}{5} \implies \sin x = -\frac{3}{5}
Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla bilinmeyen fonksiyon değerini yalnız bırakmak hedeflenmiştir.
3
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) tanım aralığına göre açının üçüncü bölgede olduğunu belirleyip cos⁡x\cos x, cot⁡x\cot x ve csc⁡x\csc x değerlerini bulalım.
cos⁡x=−45,cot⁡x=43,csc⁡x=−53\cos x = -\frac{4}{5}, \quad \cot x = \frac{4}{3}, \quad \csc x = -\frac{5}{3}
Üçüncü bölgede sinüs, kosinüs ve kosekant fonksiyonları negatif, kotanjant fonksiyonu ise pozitif değerler alır.
4
Bulduğumuz değerleri soruda istenen cot⁡x−csc⁡x\cot x - \csc x ifadesinde yerine yazarak hesaplayalım.
cot⁡x−csc⁡x=43−(−53)=43+53=93=3\cot x - \csc x = \frac{4}{3} - \left(-\frac{5}{3}\right) = \frac{4}{3} + \frac{5}{3} = \frac{9}{3} = 3
İstenen cebirsel ifadenin nihai sonucuna ulaşmak amaçlanmıştır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre İşaret Analizi
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 52Soru →
x∈(0,π6)x \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right) olmak üzere,
a=cos⁡4x−sin⁡4xb=tan⁡2x−cot⁡2xc=tan⁡x1+tan⁡2x\begin{aligned} a &= \cos^4 x - \sin^4 x \\ b &= \tan^2 x - \cot^2 x \\ c &= \frac{\tan x}{1 + \tan^2 x} \end{aligned}
ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

b < c < a sıralaması doğrudur.
Verilen aralıkta bb ifadesi negatif bir değer alırken, aa ve cc ifadeleri pozitif değerler alır. a=cos⁡(2x)a = \cos(2x) değeri bu aralıkta 0.50.5 ile 11 arasında, c=12sin⁡(2x)c = \frac{1}{2}\sin(2x) değeri ise 00 ile yaklaşık 0.4330.433 arasında olduğundan doğru sıralama en küçükten büyüğe doğru b<c<ab < c < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
a ifadesini çarpanlarına ayırarak sadeleştiriniz.
a=(cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2x+sin⁡2x)a = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) özdeşliği yazılır. cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 olduğundan a=cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡(2x)a = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x) elde edilir.
Dördüncü dereceden terimleri iki kare farkı özdeşliğiyle daha kolay analiz edilebilir yarım açı formülüne dönüştürmek için.
2
b ifadesinin değer aralığını belirleyiniz.
x∈(0,π6)x \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right) aralığında tan⁡x\tan x artan bir fonksiyondur ve 0<tan⁡x<130 < \tan x < \frac{1}{\sqrt{3}} aralığındadır. Bu durumda tan⁡2x<13\tan^2 x < \frac{1}{3} olur. Benzer şekilde cot⁡x>3\cot x > \sqrt{3} olduğundan cot⁡2x>3\cot^2 x > 3 elde edilir. Buradan b=tan⁡2x−cot⁡2x<13−3=−83b = \tan^2 x - \cot^2 x < \frac{1}{3} - 3 = -\frac{8}{3} bulunur.
Terimin negatif bir değer aldığını ve sayısal sınırını belirlemek için.
3
c ifadesini temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla en sade haline getirip aralığını bulunuz.
1+tan⁡2x=sec⁡2x=1cos⁡2x1 + \tan^2 x = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} özdeşliği kullanıldığında; c=sin⁡xcos⁡x1cos⁡2x=sin⁡xcos⁡x=12sin⁡(2x)c = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos^2 x}} = \sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x) elde edilir. 2x∈(0,π3)2x \in \left(0, \frac{\pi}{3}\right) aralığında sinüs fonksiyonu pozitif değerler alır ve sin⁡(2x)∈(0,32)\sin(2x) \in \left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) olduğundan c∈(0,34)c \in \left(0, \frac{\sqrt{3}}{4}\right) aralığındadır.
Rasyonel trigonometrik ifadeyi sadeleştirip değer kümesini netleştirmek için.
4
Sadeleşen ifadelerin değer aralıklarını karşılaştırarak sıralamayı yapınız.
b<−2.67b < -2.67, 0<c<0.4330 < c < 0.433 ve 0.5<a<10.5 < a < 1 aralıkları elde edilmiştir. Bu aralıklar birbirleriyle kesişmediği için b<c<ab < c < a sıralaması bulunur.
Her bir değişken için bulunan kesin eşitsizlik aralıklarını birleştirmek için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre Sıralama
Soru 53Soru →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x+cos⁡xb=sin⁡x⋅cos⁡xc=tan⁡x+cot⁡x\begin{aligned} a &= \sin x + \cos x \\ b &= \sin x \cdot \cos x \\ c &= \tan x + \cot x \end{aligned}
eşitlikleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c < b < a

Cevap

c < b < a sıralaması doğrudur.
İkinci bölgenin belirtilen aralığında sin⁡x\sin x pozitif, cos⁡x\cos x negatiftir. sin⁡x\sin x değeri mutlak değerce cos⁡x\cos x değerinden büyük olduğu için toplamları olan aa pozitif bir değer alır. Sinüs ve kosinüsün çarpımı olan bb negatif olup [−1/2,0)[-1/2, 0) aralığındadır. c=tan⁡x+cot⁡xc = \tan x + \cot x ifadesi 1sin⁡xcos⁡x=1b\frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{b} olarak yazıldığında, negatif basit kesir olan bb değerinin çarpmaya göre tersi −2-2 veya daha küçük olur. Bu durumda negatif olan değerlerden cc, bb'den daha küçüktür; pozitif olan aa ise en büyüktür. Dolayısıyla doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bulunduğu bölgeyi belirleyip, trigonometrik fonksiyonların işaretlerini analiz edelim.
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı ikinci bölgededir. Bu aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 olur. Ayrıca xx açısı 90∘90^\circ ile 135∘135^\circ arasında olduğundan, birim çemberde sinüs eksenine daha yakındır ve sin⁡x>∣cos⁡x∣\sin x > |\cos x| eşitsizliği sağlanır. Buradan a=sin⁡x+cos⁡x>0a = \sin x + \cos x > 0 elde edilir.
Değişkenlerin işaretlerini ve büyüklük ilişkilerini belirlemek için.
2
b değerinin işaretini ve aralığını bulalım.
b=sin⁡x⋅cos⁡xb = \sin x \cdot \cos x ifadesi pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı olduğundan negatiftir (b<0b < 0). Yarım açı formülünü kullanarak b=sin⁡(2x)2b = \frac{\sin(2x)}{2} yazabiliriz. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) ise 2x∈(π,3π2)2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olur. Bu üçüncü bölgede sinüs fonksiyonu [−1,0)[-1, 0) aralığında değer aldığından, b∈[−12,0)b \in \left[-\frac{1}{2}, 0\right) aralığındadır.
Çarpımın değer sınırlarını belirlemek için.
3
c değerini özdeşlikler yardımıyla düzenleyelim ve b değeri ile ilişkilendirelim.
c=tan⁡x+cot⁡x=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x=1sin⁡xcos⁡x=1bc = \tan x + \cot x = \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{1}{b} olur. b∈[−12,0)b \in \left[-\frac{1}{2}, 0\right) olduğundan, çarpmaya göre tersi olan c=1b≤−2c = \frac{1}{b} \le -2 olur.
c ve b arasındaki büyüklük ilişkisini kurmak için.
4
Elde edilen tüm değer aralıklarını birleştirerek doğru sıralamayı bulalım.
c≤−2c \le -2, −12≤b<0-\frac{1}{2} \le b < 0 ve a>0a > 0 olduğundan, doğru sıralama c<b<ac < b < a şeklindedir.
Sıralamayı nihayete erdirmek için.

Anahtar Kavram

İkinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaretleri, tan⁡x+cot⁡x=1sin⁡xcos⁡x\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} özdeşliği ve basit kesirlerin çarpmaya göre tersinin sıralamadaki etkisi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 54Soru →
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) olmak üzere,
a=cos⁡x−sin⁡xb=tan⁡x−cot⁡xc=sin⁡x+cos⁡x\begin{aligned} a &= \cos x - \sin x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \sin x + \cos x \end{aligned}
ifadeleri veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büy��ğe doğru sıralama a<c<ba < c < b şeklindedir.
İkinci bölgenin (3π4,π)\left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) kısmında kosinüs negatif, sinüs ise pozitif değerler alır. Bu aralıkta kosinüsün mutlak değeri sinüsten büyük olduğundan sinüs ile kosinüsün toplamı negatif olur. Kosinüs ile sinüsün farkı ise negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için daha da küçük bir negatif sayı verir. Tanjant ve kotanjant değerleri negatif olmakla birlikte, bu aralıkta kotanjant −1-1'den küçük, tanjant ise −1-1'den büyüktür. Dolayısıyla tanjant ile kotanjantın farkı pozitif bir değer üretir. Bu durum, kosinüs ile sinüsün farkını en küçük, tanjant ile kotanjantın farkını ise en büyük yapar. Sonuç olarak sıralama en küçükten en büyüğe doğru sırasıyla kosinüs ve sinüsün farkı, sinüs ve kosinüsün toplamı, tanjant ve kotanjantın farkı şeklinde gerçekleşir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen aralıktaki trigonometrik değerlerin işaretlerini ve sınırlarını belirlemek.
x∈(3π4,π)x \in \left(\frac{3\pi}{4}, \pi\right) aralığı ikinci bölgenin ikinci yarısını temsil eder. Bu aralıkta;
- sin⁡x>0\sin x > 0 ve sin⁡x<22\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}
- cos⁡x<0\cos x < 0 ve cos⁡x<−22\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}
- tan⁡x∈(−1,0)\tan x \in (-1, 0)
- cot⁡x<−1\cot x < -1 olur.
Birim çember üzerindeki ikinci bölgede sinüs pozitif, kosinüs, tanjant ve kotanjant negatiftir. Açı 3π4\frac{3\pi}{4} değerini aştığında kosinüsün mutlak değeri büyürken sinüsün mutlak de��eri küçülür.
2
aa, bb ve cc ifadelerinin işaretlerini ve büyüklüklerini analiz etmek.
- a=cos⁡x−sin⁡x→a = \cos x - \sin x \rightarrow (Negatif) - (Pozitif) = Negatif bir değer alır.
- b=tan⁡x−cot⁡x→b = \tan x - \cot x \rightarrow tan⁡x>−1\tan x > -1 ve −cot⁡x>1-\cot x > 1 olduğundan toplamları pozitif bir değer alır (b>0b > 0).
- c=sin⁡x+cos⁡x→c = \sin x + \cos x \rightarrow Bu aralıkta ∣cos⁡x∣>sin⁡x|\cos x| > \sin x olduğundan, toplamları negatif bir değer alır (c<0c < 0).
İfadelerin genel işaret yapıları sıralamanın ana hatlarını belirler. Pozitif olan bb ifadesi en büyük değere sahiptir.
3
Negatif olan aa ve cc değerlerini kıyaslayarak tam sıralamayı oluşturmak.
c−a=(sin⁡x+cos⁡x)−(cos⁡x−sin⁡x)=2sin⁡xc - a = (\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x) = 2\sin x elde edilir. Bu aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0 olduğundan 2sin⁡x>02\sin x > 0 olur, yani c>ac > a bağıntısı bulunur.
İki negatif değer arasındaki farkın işareti incelenerek hangisinin daha büyük olduğu belirlenir. c>ac > a ve b>0b > 0 olduğundan, nihai sıralama a<c<ba < c < b olarak kesinleşir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların ikinci bölgedeki işaretleri, değer aralıkları ve mutlak değerce büyüklük kıyaslamaları.
Soru 55Soru →
x∈(3π2,2π)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) olmak üzere,
sin⁡x1−sin⁡2x+cos⁡x1−cos⁡2x\frac{\sin x}{\sqrt{1 - \sin^2 x}} + \frac{\cos x}{\sqrt{1 - \cos^2 x}}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: tan⁡x−cot⁡x\tan x - \cot x

Cevap

tan x - cot x
Dördüncü bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti pozitif, sinüs fonksiyonunun işareti negatiftir. Karekök içindeki tam kare ifadeler dışarıya mutlak değer ile çıkarılır. Buna göre, cos⁡2x=∣cos⁡x∣=cos⁡x\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x| = \cos x ve sin⁡2x=∣sin⁡x∣=−sin⁡x\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x| = -\sin x olur. Bu değerler yerlerine yazıldığında ifade sin⁡xcos⁡x−cos⁡xsin⁡x\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x} haline gelir. Tanjant ve kotanjant tanımlarından faydalanılarak bu ifade tan⁡x−cot⁡x\tan x - \cot x şeklinde sadeleşir.

Adım Adım Çözüm

1
Kök içerisindeki ifadeleri temel trigonometrik özdeşlikler yardımıyla düzenleme.
1−sin⁡2x=cos⁡2x1 - \sin^2 x = \cos^2 x ve 1−cos⁡2x=sin⁡2x1 - \cos^2 x = \sin^2 x özdeşlikleri kullanılarak ifade sin⁡xcos⁡2x+cos⁡xsin⁡2x\frac{\sin x}{\sqrt{\cos^2 x}} + \frac{\cos x}{\sqrt{\sin^2 x}} şeklinde yazılır.
Kök dışına çıkarma işlemini gerçekleştirmek için temel özdeşliklerden yararlanılır.
2
Kareköklü ifadeleri mutlak değer kullanarak kök dışına çıkarma.
cos⁡2x=∣cos⁡x∣\sqrt{\cos^2 x} = |\cos x| ve sin⁡2x=∣sin⁡x∣\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x| olduğundan ifade sin⁡x∣cos⁡x∣+cos⁡x∣sin⁡x∣\frac{\sin x}{|\cos x|} + \frac{\cos x}{|\sin x|} haline gelir.
Çift dereceli köklerin dışına çıkan ifadelerin işaretini doğru belirlemek için mutlak değer kullanılır.
3
Verilen aralığa göre mutlak değerlerin işaretini belirleyip sadeleştirme yapma.
x∈(3π2,2π)x \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) aralığı 4. bölgede olduğundan bu bölgede cos⁡x>0\cos x > 0 ve sin⁡x<0\sin x < 0 olur. Dolayısıyla ∣cos⁡x∣=cos⁡x|\cos x| = \cos x ve ∣sin⁡x∣=−sin⁡x|\sin x| = -\sin x olarak çıkar. İfade sin⁡xcos⁡x+cos⁡x−sin⁡x=tan⁡x−cot⁡x\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{-\sin x} = \tan x - \cot x şeklinde sadeleşir.
4. bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaret kuralları uygulanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre İşaret Belirleme
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 56Soru →
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere, aşağıda verilen ifadelerin değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama a < b < c şeklindedir.
Verilen üçüncü bölge aralığında sinüs ve kosinüs fonksiyonları negatif, tanjant ve kotanjant fonksiyonları ise pozitiftir. Bu doğrultuda iki negatif değerin çarpımı olan üçüncü ifade pozitif; negatif ve pozitif değerlerin çarpımları olan birinci ve ikinci ifadeler ise negatif olur. Negatif ifadelerin mutlak değerleri karşılaştırıldığında, sinüsün mutlak değerinin kosinüsün mutlak değerinden büyük olmasından ötürü birinci ifade mutlak değerce daha büyük ve dolayısıyla daha küçüktür. Bu durum sıralamayı birinci ifade < ikinci ifade < üçüncü ifade biçiminde belirler.

Adım Adım Çözüm

1
Aralığa göre temel trigonometrik fonksiyonların işaretlerini belirleme.
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığı birim çemberde ��çüncü bölgeye karşılık gelir. Bu bölgede sin⁡x<0\sin x < 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0 değerlerini alır.
Birim çember üzerinde üçüncü bölgedeki noktaların apsisleri (kosinüs) ve ordinatları (sinüs) negatif; bu değerlerin oranları olan tanjant ve kotanjant ise pozitiftir.
2
Tanımlanan a, b ve c ifadelerinin işaretlerini analiz etme.
a=sin⁡x⋅tan⁡x<0a = \sin x \cdot \tan x < 0 (negatif ile pozitifin çarpımı), b=cos⁡x⋅cot⁡x<0b = \cos x \cdot \cot x < 0 (negatif ile pozitifin çarpımı), c=sin⁡x⋅cos⁡x>0c = \sin x \cdot \cos x > 0 (iki negatifin çarpımı) olarak bulunur.
İşaret kurallarına göre zıt işaretli sayıların çarpımı negatif, aynı işaretli sayıların çarpımı ise pozitiftir.
3
Negatif olan a ve b ifadelerini mutlak değerce karşılaştırma.
5π4<x<3π2\frac{5\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{2} aralığında ∣sin⁡x∣>∣cos⁡x∣|\sin x| > |\cos x| olduğundan, ∣a∣=sin⁡2x∣cos⁡x∣|a| = \frac{\sin^2 x}{|\cos x|} ifadesinin payı daha büyük, paydası daha küçüktür. Dolayısıyla ∣a∣>∣b∣|a| > |b| elde edilir. Sayılar negatif olduğundan a<ba < b olur.
Negatif iki sayıdan mutlak değerce büyük olan sayı sayı doğrusunda daha solda yer alacağı için daha küçüktür.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin ve büyüklüklerinin karşılaştırılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 57Soru →
π<x<5π4\pi < x < \frac{5\pi}{4} olmak üzere,
a=sin⁡x−cos⁡xb=cos⁡x−cot⁡xc=sin⁡x−tan⁡x\begin{aligned} a &= \sin x - \cos x \\ b &= \cos x - \cot x \\ c &= \sin x - \tan x \end{aligned}

sayılarının doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b<c<ab < c < a

Cevap

b < c < a sıralaması doğrudur.
Doğru sıralama olan b < c < a ilişkisi, üçüncü bölgede kosinüsün sinüsten daha küçük negatif değer alması, kotanjantın tanjanttan büyük pozitif değer alması ve pozitif-negatif değerlerin kendi aralarında kıyaslanmasıyla kesin olarak saptanır.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bölgesini belirleyip fonksiyonların işaret ve büyüklüklerini analiz etme
π<x<5π4\pi < x < \frac{5\pi}{4} aralığı birim çemberde üçüncü bölgeye karşılık gelir. Bu bölgede:
- sin⁡x<0\sin x < 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0
- tan⁡x>0\tan x > 0 ve cot⁡x>0\cot x > 0
- Açı 5π4\frac{5\pi}{4} değerinden küçük oldu��undan, bu aralıkta kosinüsün mutlak değeri sinüsün mutlak değerinden büyüktür. Dolayısıyla cos⁡x<sin⁡x<0\cos x < \sin x < 0 ilişkisi vardır.
- Yine bu aralıkta tanjant değeri 11'den küçük, kotanjant değeri ise 11'den büyüktür: 0<tan⁡x<1<cot⁡x0 < \tan x < 1 < \cot x.
Sıralama yapılacak ifadelerin işaretlerini ve büyüklüklerini belirlemek için bölge analizine ihtiyaç duyulur.
2
a, b ve c sayılarının işaretlerini belirleme
- a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x: sin⁡x>cos⁡x\sin x > \cos x olduğundan (örneğin −0.5>−0.866-0.5 > -0.866), bu fark pozitif bir değer üretir (a>0a > 0).
- b=cos⁡x−cot⁡xb = \cos x - \cot x: Negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için sonuç kesinlikle negatiftir (b<0b < 0).
- c=sin⁡x−tan⁡xc = \sin x - \tan x: Negatif bir sayıdan pozitif bir sayı çıkarıldığı için sonuç kesinlikle negatiftir (c<0c < 0).
İfadelerin pozitiflik ve negatiflik durumları belirlenerek sıralamada genel bir taslak oluşturulur.
3
Negatif olan b ve c değerlerini kendi aralarında kıyaslama
bb ve cc değerlerinin farkına bakalım: b−c=(cos⁡x−cot⁡x)−(sin⁡x−tan⁡x)=(cos⁡x−sin⁡x)+(tan⁡x−cot⁡x)b - c = (\cos x - \cot x) - (\sin x - \tan x) = (\cos x - \sin x) + (\tan x - \cot x)
- cos⁡x<sin⁡x  ⟹  cos⁡x−sin⁡x<0\cos x < \sin x \implies \cos x - \sin x < 0 (negatif)
- tan⁡x<cot⁡x  ⟹  tan⁡x−cot⁡x<0\tan x < \cot x \implies \tan x - \cot x < 0 (negatif)
İki negatif değerin toplamı da negatif olacağından b−c<0b - c < 0 yani b<cb < c elde edilir.
Her ikisi de negatif olan iki değerin hangisinin daha küçük olduğunu bulmak için farkları analiz edilir.
4
Genel sıralamayı birleştirme
b<c<0<ab < c < 0 < a olduğundan doğru sıralama b<c<ab < c < a şeklindedir.
Elde edilen tüm büyüklük ilişkileri bir araya getirilerek nihai sıralama oluşturulur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Fonksiyonların Bölgelere Göre İşaretleri ve Sıralaması
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 58Soru →
a=sin⁡160∘b=cos⁡250∘c=tan⁡310∘d=cot⁡70∘\begin{aligned} a &= \sin 160^\circ \\ b &= \cos 250^\circ \\ c &= \tan 310^\circ \\ d &= \cot 70^\circ \end{aligned}

olduğuna göre; aa, bb, cc ve dd değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: c<b<a<dc < b < a < d

Cevap

c<b<a<dc < b < a < d
Verilen ifadeler dar açıya indirgendiğinde a=sin⁡20∘a = \sin 20^\circ, b=−sin⁡20∘b = -\sin 20^\circ, c=−tan⁡50∘c = -\tan 50^\circ ve d=tan⁡20∘d = \tan 20^\circ değerleri elde edilir. Negatif değerlerden −tan⁡50∘-\tan 50^\circ değeri −1-1'den küçükken, −sin⁡20∘-\sin 20^\circ değeri −1-1 ile 00 arasındadır; bu nedenle en küçük değer −tan⁡50∘-\tan 50^\circ (cc), ardından −sin⁡20∘-\sin 20^\circ (bb) gelir. Pozitif değerlerden ise birinci bölgede aynı açının tanjantı sinüsünden büyük olduğu için sin⁡20∘\sin 20^\circ (aa) değeri tan⁡20∘\tan 20^\circ (dd) değerinden küçüktür. Bu analiz birleştirildiğinde doğru sıralamanın c<b<a<dc < b < a < d olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik ifadeleri dar açılar cinsinden ve uygun işaretlerle ifade etmek.
a=sin⁡20∘a = \sin 20^\circ, b=−sin⁡20∘b = -\sin 20^\circ, c=−tan⁡50∘c = -\tan 50^\circ ve d=tan⁡20∘d = \tan 20^\circ
İfadeleri kolayca karşılaştırabilmek amacıyla hepsini birinci bölgedeki dar açılar cinsinden yazmak gerekir.
2
Elde edilen değerleri pozitif ve negatif olarak gruplandırıp kendi aralarında sıralamak.
Pozitifler: d>a>0d > a > 0, Negatifler: c<b<0c < b < 0
Birinci bölgede 0<α<90∘0 < \alpha < 90^\circ için tan⁡α>sin⁡α\tan \alpha > \sin \alpha olduğundan tan⁡20∘>sin⁡20∘\tan 20^\circ > \sin 20^\circ olur. Ayrıca tan⁡50∘>1\tan 50^\circ > 1 olduğundan −tan⁡50∘<−1-\tan 50^\circ < -1 ve −1<−sin⁡20∘<0-1 < -\sin 20^\circ < 0 olur.
3
Grupları birleştirerek nihai sıralamayı yazmak.
c<b<a<dc < b < a < d
Negatif değerler pozitif değerlerden her zaman küçük olduğundan iki grubun sıralaması birleştirilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretleri ve dar açıya indirgenerek sıralanması.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 59Soru →
a=sin⁡(19π12)b=cos⁡(11π10)c=tan⁡(13π9)d=cot⁡(23π18)\begin{aligned} a &= \sin\left(\frac{19\pi}{12}\right) \\ b &= \cos\left(\frac{11\pi}{10}\right) \\ c &= \tan\left(\frac{13\pi}{9}\right) \\ d &= \cot\left(\frac{23\pi}{18}\right) \end{aligned}

olduğuna göre; aa, bb, cc ve dd değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Verilen sayıların küçükten büyüğe doğru doğru sıralanışı a<b<d<ca < b < d < c şeklindedir.
Verilen ifadeler birinci bölgeye indirgendiğinde negatif olanlar a=−cos⁡(15∘)a = -\cos(15^\circ) ve b=−cos⁡(18∘)b = -\cos(18^\circ) olarak elde edilir. Birinci bölgede kosinüs fonksiyonu azalan olduğundan cos⁡(15∘)>cos⁡(18∘)\cos(15^\circ) > \cos(18^\circ) olur. Buradan negatif halleri kıyaslandığında a<ba < b sonucu çıkar. Pozitif olan ifadeler ise d=tan⁡(40∘)d = \tan(40^\circ) ve c=tan⁡(80∘)c = \tan(80^\circ) şeklindedir. Birinci bölgede tanjant fonksiyonu artan olduğundan ve tan⁡(45∘)=1\tan(45^\circ) = 1 referans alındığında d<1<cd < 1 < c bulunur. Negatif değerler pozitiflerden daima küçük olduğundan sıralama a<b<d<ca < b < d < c olarak netleşir.

Adım Adım Çözüm

1
Açıların birim çember üzerindeki bölgelerini ve fonksiyonların bu bölgelerdeki işaretlerini belirleyiniz.
19π12\frac{19\pi}{12} açısı 4. bölgededir, sinüs değeri negatiftir (a<0a < 0). 11π10\frac{11\pi}{10} açısı 3. bölgededir, kosinüs değeri negatiftir (b<0b < 0). 13π9\frac{13\pi}{9} açısı 3. bölgededir, tanjant değeri pozitiftir (c>0c > 0). 23π18\frac{23\pi}{18} açısı 3. bölgededir, kotanjant değeri pozitiftir (d>0d > 0).
Sıralama yaparken negatif ve pozitif değerleri kendi aralarında gruplandırmak karşılaştırmayı kolaylaştırır.
2
Verilen trigonometrik ifadeleri indirgeme formülleri yardımıyla birinci bölgedeki dar açılar cinsinden yazınız.
a=sin⁡(3π2+π12)=−cos⁡(π12)=−cos⁡(15∘)a = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{12}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{12}\right) = -\cos(15^\circ),
b=cos⁡(π+π10)=−cos⁡(π10)=−cos⁡(18∘)b = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{10}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{10}\right) = -\cos(18^\circ),
c=tan⁡(π+4π9)=tan⁡(4π9)=tan⁡(80∘)c = \tan\left(\pi + \frac{4\pi}{9}\right) = \tan\left(\frac{4\pi}{9}\right) = \tan(80^\circ),
d=cot⁡(π+5π18)=cot⁡(5π18)=cot⁡(50∘)=tan⁡(40∘)d = \cot\left(\pi + \frac{5\pi}{18}\right) = \cot\left(\frac{5\pi}{18}\right) = \cot(50^\circ) = \tan(40^\circ).
Tüm ifadeleri birinci bölgeye taşımak, büyüklük kıyaslaması yapmayı standartlaştırır.
3
Elde edilen dar açılı değerleri negatif ve pozitif gruplar halinde kendi aralarında sıralayınız.
Birinci bölgede açılar büyüdükçe kosinüs azaldığından cos⁡(15∘)>cos⁡(18∘)\cos(15^\circ) > \cos(18^\circ) olur. Eksi ile çarptığımızda −cos⁡(15∘)<−cos⁡(18∘)-\cos(15^\circ) < -\cos(18^\circ) elde edilir, yani a<ba < b'dir.
Pozitif değerler için, birinci bölgede açılar büyüdükçe tanjant değeri artar. tan⁡(40∘)<tan⁡(45∘)=1<tan⁡(80∘)\tan(40^\circ) < \tan(45^\circ) = 1 < \tan(80^\circ) olduğundan d<1<cd < 1 < c elde edilir.
Negatif sayıların mutlak değerce büyük olanının daha küçük olduğu gerçeği ile birinci bölgedeki artan/azalan fonksiyon özelliklerini birleştirerek nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre işaretlerinin belirlenmesi ve açıların indirgenerek birinci bölgede sıralanması
Soru 60Soru →
π2<x<π\frac{\pi}{2} < x < \pi

olmak üzere,

a=cos⁡xb=cot⁡xc=csc⁡x\begin{aligned} a &= \cos x \\ b &= \cot x \\ c &= \csc x \end{aligned}

olarak veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerinin doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: b<a<cb < a < c

Cevap

Doğru sıralama b < a < c şeklindedir.
İkinci bölgede sinüs pozitif, kosinüs ve kotanjant negatiftir. 0<sin⁡x<10 < \sin x < 1 aralığında olduğundan, kosekant değeri olan 1/sin⁡x1/\sin x daima 1'den büyüktür ve pozitiftir, yani en büyük terimdir. Kosinüs ve kotanjant negatif değerlerdir. Negatif olan kosinüs değeri, 0 ile 1 arasındaki pozitif sinüs değerine bölündüğünde daha da negatifleşerek küçülür ve kotanjant değerini verir. Bu nedenle kotanjant kosinüsten daha küçüktür. Sıralama küçükten büyüğe doğru kotanjant, kosinüs, kosekant şeklinde olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Açının bölgesini belirleme ve temel trigonometrik oranların işaretlerini analiz etme.
x∈(π2,π)x \in (\frac{\pi}{2}, \pi) olduğundan, açı koordinat sisteminin ikinci bölgesindedir. İkinci bölgede sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0 ve cot⁡x<0\cot x < 0 değerlerini alır.
Sıralama işlemine başlamadan önce değerlerin pozitiflik-negatiflik durumunu belirlemek sıralamayı kolaylaştırır.
2
Kosekant (cc) değerinin işaretini ve değer aralığ��nı belirleme.
c=csc⁡x=1sin⁡xc = \csc x = \frac{1}{\sin x} olarak tanımlıdır. İkinci bölgede 0<sin⁡x<10 < \sin x < 1 aralığında değer aldığından, bu değerin çarpmaya göre tersi olan kosekant değeri c>1c > 1 olur. Pozitif olan tek terim cc olduğundan en büyük değerdir.
Kosekantın ikinci bölgedeki değer aralığını bularak en büyük elemanı tespit etmek için.
3
Kosinüs (aa) ve kotanjant (bb) değerlerini karşılaştırma.
b=cot⁡x=cos⁡xsin⁡xb = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} şeklindedir. İkinci bölgede 0<sin⁡x<10 < \sin x < 1 olduğundan, 1sin⁡x>1\frac{1}{\sin x} > 1 eşitsizliği geçerlidir. Negatif bir sayı olan cos⁡x\cos x ile bu eşitsizliğin her iki tarafı çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir: cos⁡xsin⁡x<cos⁡x  ⟹  b<a\frac{\cos x}{\sin x} < \cos x \implies b < a elde edilir. Sonuç olarak b<a<cb < a < c sıralaması bulunur.
Negatif iki değerin mutlak değerce büyüklükleri ile negatif sıralama kurallarını birleştirerek nihai sıralamayı elde etmek için.

Anahtar Kavram

İkinci bölgedeki trigonometrik fonksiyonların işaret ve değer aralıkları kullanılarak sıralanması.
ÖncekiSayfa 3 / 4Sonraki
Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 3 | Examkin