Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
a=sin⁡x−cos⁡xb=tan⁡x−cot⁡xc=cos⁡x−cot⁡x\begin{aligned} a &= \sin x - \cos x \\ b &= \tan x - \cot x \\ c &= \cos x - \cot x \end{aligned}
ifadeleri tanımlanıyor.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1b
  2. 2c
  3. 3a

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama b < c < a şeklindedir.
Verilen aralık ikinci bölgede yer aldığından tanjant değeri kotanjant değerinden daha küçüktür, bu yüzden farkları olan ikinci ifade negatiftir. Üçüncü ifade çarpanlarına ayrıldığında iki negatif ifadenin çarpımı olarak pozitif fakat 1'den küçük bir değer verir. Birinci ifade ise pozitif bir değerden negatif bir değer çıkarıldığı için pozitif ve 1'den büyüktür. Bu durumda en küçük ikinci ifade, ardından üçüncü ifade ve en büyük birinci ifade şeklinde sıralanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen aralığa göre temel fonksiyonların işaretlerini ve sınır değerlerini belirleyin.
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı ikinci bölgededir. Bu aralıkta sin⁡x>0\sin x > 0, cos⁡x<0\cos x < 0, tan⁡x<−1\tan x < -1 ve −1<cot⁡x<0-1 < \cot x < 0 olur.
Sıralama yapılacak ifadelerdeki bileşenlerin sınırlarını saptamak için.
2
b=tan⁡x−cot⁡xb = \tan x - \cot x ifadesinin işaretini belirleyin.
tan⁡x<−1\tan x < -1 ve cot⁡x>−1\cot x > -1 olduğundan tan⁡x<cot⁡x\tan x < \cot x yazılır. Dolayısıyla b=tan⁡x−cot⁡x<0b = \tan x - \cot x < 0 bulunur.
Küçük değerden büyük değer çıkarıldığında sonucun negatif olduğunu belirlemek için.
3
c=cos⁡x−cot⁡xc = \cos x - \cot x ifadesinin değer aralığını çarpanlara ayırma yöntemiyle analiz edin.
c=cos⁡x−cos⁡xsin⁡x=cos⁡x(1−1sin⁡x)c = \cos x - \frac{\cos x}{\sin x} = \cos x \left(1 - \frac{1}{\sin x}\right) olarak yazılır. sin⁡x∈(22,1)\sin x \in \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right) olduğundan 1sin⁡x>1\frac{1}{\sin x} > 1 ve 1−1sin⁡x<01 - \frac{1}{\sin x} < 0 olur. Negatif olan cos⁡x\cos x ile bu negatif ifadenin çarpımı pozitif sonuç verir: c>0c > 0. Çarpanların sınırlarından c<2−22≈0.293c < \frac{2-\sqrt{2}}{2} \approx 0.293 olduğu görülür.
cc değerinin işaretini ve üst sınırını belirlemek için.
4
a=sin⁡x−cos⁡xa = \sin x - \cos x ifadesini analiz edip cc değeriyle karşılaştırın.
a=sin⁡x−cos⁡x=2sin⁡(x−π4)a = \sin x - \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) şeklinde yazılabilir. x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) için (x−π4)∈(π4,π2)\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) olur. Bu aralıkta sinüs değeri 22\frac{\sqrt{2}}{2}'den büyük olduğundan a>1a > 1 elde edilir. Bu durumda b<0<c<1<ab < 0 < c < 1 < a sıralaması kesinleşir.
Pozitif olan iki değerden hangisinin daha büyük olduğunu belirlemek için.

Anahtar Kavram

Bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri ve değer aralıklarının karşılaştırılması
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru