Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1−sin⁡x1+sin⁡x−1+sin⁡x1−sin⁡x\sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}} - \sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}}

ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    −2tan⁡x-2\tan x
  2. B
    2cot⁡x2\cot x
  3. 2tan⁡x2\tan xCevap
  4. D
    −2cot⁡x-2\cot x
  5. E
    −2-2

Cevap

2tan⁡x2\tan x
Üçüncü bölgede kosinüs negatif olduğu için kök dışına çıkarılırken eksi ile çarpılarak çıkar. Paylar ortak paydada sadeleştirildiğinde pay kısmında −2sin⁡x-2\sin x, paydada ise −cos⁡x-\cos x kalır ve oranlandığında 2tan⁡x2\tan x elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kesirlerin paydalarını rasyonel yapmak için her iki köklü ifadeyi paydalarının eşlenikleriyle genişletelim.
(1−sin⁡x)21−sin⁡2x−(1+sin⁡x)21−sin⁡2x\sqrt{\frac{(1-\sin x)^2}{1-\sin^2 x}} - \sqrt{\frac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2 x}}
Ortak payda elde etmek ve kök dışına çıkarmayı kolaylaştırmak.
2
1−sin⁡2x=cos⁡2x1-\sin^2 x = \cos^2 x özdeşliğini yazıp ifadeleri kök dışına mutlak değerli olarak çıkaralım.
∣1−sin⁡x∣∣cos⁡x∣−∣1+sin⁡x∣∣cos⁡x∣\frac{|1-\sin x|}{|\cos x|} - \frac{|1+\sin x|}{|\cos x|}
A2=∣A∣\sqrt{A^2} = |A| kuralını uygulamak.
3
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) aralığında (3. bölgede) trigonometrik fonksiyonların işaretlerini inceleyelim.
∣cos⁡x∣=−cos⁡x|\cos x| = -\cos x, ∣1−sin⁡x∣=1−sin⁡x|1-\sin x| = 1-\sin x ve ∣1+sin⁡x∣=1+sin⁡x|1+\sin x| = 1+\sin x olduğundan ifade 1−sin⁡x−cos⁡x−1+sin⁡x−cos⁡x\frac{1-\sin x}{-\cos x} - \frac{1+\sin x}{-\cos x} olur.
3. bölgede kosinüs negatif, sinüs ise −1-1 ile 00 arasında değer aldığından mutlak değer içindeki ifadelerin işaretlerini belirlemek.
4
Elde edilen rasyonel ifadeleri ortak paydada birleştirip sadeleştirelim.
1−sin⁡x−(1+sin⁡x)−cos⁡x=−2sin⁡x−cos⁡x=2tan⁡x\frac{1-\sin x - (1+\sin x)}{-\cos x} = \frac{-2\sin x}{-\cos x} = 2\tan x
İşlemleri tamamlayarak en sade biçime ulaşmak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Özdeşlikler ve Bölgelere Göre İşaret İncelemesi
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Özdeşlikler ve Sıralama

Bu konudan daha fazla soru