Examkin

Soru

Zorluk: ZorBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler konusunu çalışan bir öğrenci, aşağıdaki üç farklı eşitsizliği incelemektedir:

I. 2(x−3)−3(x+1)>−82(x - 3) - 3(x + 1) > -8 eşitsizliğini sağlayan en büyük xx tam sayısı aa'dır.
II. 7−3x2≤5\frac{7 - 3x}{2} \leq 5 eşitsizliğini sağlayan en küçük xx tam sayısı bb'dir.
III. 1−x−13>x+221 - \frac{x-1}{3} > \frac{x+2}{2} eşitsizliğini sağlayan en büyük xx tam sayısı cc'dir.

Buna göre; aa, bb ve cc değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1aa değeri
  2. 2bb değeri
  3. 3cc değeri

Cevap

Elde edilen değerler sırasıyla a=−2a = -2, b=−1b = -1 ve c=0c = 0 olduğundan, doğru sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.
Verilen eşitsizlikler kurallara uygun olarak çözüldüğünde elde edilen sınır aralıkları sırasıyla x<−1x < -1, x≥−1x \geq -1 ve x<0.4x < 0.4 şeklindedir. Bu aralıklardan elde edilen en büyük/en küçük tam sayı değerleri a=−2a = -2, b=−1b = -1 ve c=0c = 0 olduğundan doğru sıralama en küçükten en büyüğe doğru sırasıyla aa, bb ve cc şeklinde olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
I. eşitsizliği düzenleyip çözelim.
2(x−3)−3(x+1)>−8  ⟹  2x−6−3x−3>−8  ⟹  −x−9>−8  ⟹  −x>1  ⟹  x<−12(x - 3) - 3(x + 1) > -8 \implies 2x - 6 - 3x - 3 > -8 \implies -x - 9 > -8 \implies -x > 1 \implies x < -1 elde edilir.
Parantezleri dağıttıktan sonra benzer terimleri topladık. Eşitsizliğin her iki tarafını −1-1 ile çarptığımız için eşitsizlik yön değiştirdi.
2
aa tam sayı değerini belirleyelim.
x<−1x < -1 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı a=−2a = -2 olarak bulunur.
Sınır değeri olan −1-1 açık aralığa dahil olmadığından, bu değerden küçük en büyük tam sayı seçilir.
3
II. eşitsizliği düzenleyip çözelim ve bb değerini belirleyelim.
7−3x2≤5  ⟹  7−3x≤10  ⟹  −3x≤3  ⟹  x≥−1\frac{7 - 3x}{2} \leq 5 \implies 7 - 3x \leq 10 \implies -3x \leq 3 \implies x \geq -1 elde edilir. Buradan en küçük tam sayı değeri b=−1b = -1 olarak bulunur.
Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayı olan 22 ile çarpıldığında yön değişmez. Ancak her iki taraf negatif bir sayı olan −3-3'e bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir. Sınır değeri kapalı aralığa dahil olduğundan en küçük değer −1-1'dir.
4
III. eşitsizliği düzenleyip çözelim ve cc değerini belirleyelim.
1−x−13>x+221 - \frac{x-1}{3} > \frac{x+2}{2} eşitsizliğinin her iki tarafını 66 ile çarparsak: 6−2(x−1)>3(x+2)  ⟹  6−2x+2>3x+6  ⟹  8−2x>3x+6  ⟹  2>5x  ⟹  x<0.46 - 2(x-1) > 3(x+2) \implies 6 - 2x + 2 > 3x + 6 \implies 8 - 2x > 3x + 6 \implies 2 > 5x \implies x < 0.4 elde edilir. Bu aralıktaki en büyük tam sayı c=0c = 0 olarak bulunur.
Kesirlerin paydalarını eşitlemek için eşitsizliğin tamamını pozitif en küçük ortak kat olan 66 ile çarptık. Dağıtma işlemlerinde eksi işaretinin parantez içine etkisine dikkat ettik. 0.40.4'ten küçük en büyük tam sayı 00'dır.
5
Bulunan aa, bb ve cc değerlerini karşılaştırarak sıralayalım.
a=−2a = -2, b=−1b = -1 ve c=0c = 0 değerleri için −2<−1<0-2 < -1 < 0 olduğundan sıralama a<b<ca < b < c şeklindedir.
Negatif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça büyür.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözümünde, eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpıldığında veya bölündüğünde eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı uygulanır. Çözüm kümelerindeki açık ve kapalı sınır değerlerine göre en büyük veya en küçük tam sayı değerleri belirlenir.
Bu soruyu puanla

Konular

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru