Examkin

Soru

Zorluk: ZorRutin Olmayan Problemler

Bir öğretmen tahtaya 3×33 \times 3 boyutlarında bir tablo çizmiş ve başlangıçta tüm hücrelerine 0 yazmıştır. Daha sonra her adımda aşağıdaki iki işlemden birini uygulamıştır:

* Tablodaki 2×22 \times 2 boyutundaki dört alt tablodan birini seçip bu alt tablonun tüm hücrelerindeki sayıları 1 artırmak.
* Tablonun iki köşegeninden birini seçip bu köşegen üzerindeki tüm hücrelerdeki sayıları 1 artırmak.

Öğretmen bu işlemlerden birkaç kez uyguladıktan sonra tablodaki bazı sayıları silmiş ve geriye aşağıdaki görünüm kalmıştır:

588
7K11
7108

Buna göre, tablonun merkezindeki hücrede yazan KK sayısı kaçtır?

  1. A
    18
  2. B
    21
  3. 23Cevap
  4. D
    32
  5. E
    8

Cevap

Tablonun merkezindeki hücrede yazan sayı 23 olmalıdır.
Merkez hücrenin değeri K=x1+x2+x3+x4+d1+d2K = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + d_1 + d_2 ifadesine eşittir. Denklem sisteminden x1+x2=8x_1 + x_2 = 8, x3+x4=10x_3 + x_4 = 10 ve d1+d2=5d_1 + d_2 = 5 değerleri elde edilir. Bu değerler toplandığında K=8+10+5=23K = 8 + 10 + 5 = 23 sonucu bulunur. Bu nedenle doğru cevap 23 sayısıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Tablodaki her bir hücreye yapılan işlemlerin katkısını temsil eden değişkenleri tanımlayalım.
2×22 \times 2 boyutundaki alt tablo işlemlerinin sayıları sırasıyla x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4 olsun. Köşegen işlemlerinin sayıları ise d1d_1 (sol üstten sağ alta) ve d2d_2 (sağ üstten sol alta) olsun.
Hücrelerdeki sayıların hangi işlemlerden etkilendiğini cebirsel olarak ifade etmek için.
2
Verilen hücre değerlerini kullanarak bir denklem sistemi kuralım.
Tablodaki hücrelerin değerleri sırasıyla:
- (1,1): x1+d1=5x_1 + d_1 = 5
- (1,2): x1+x2=8x_1 + x_2 = 8
- (1,3): x2+d2=8x_2 + d_2 = 8
- (2,1): x1+x3=7x_1 + x_3 = 7
- (2,3): x2+x4=11x_2 + x_4 = 11
- (3,1): x3+d2=7x_3 + d_2 = 7
- (3,2): x3+x4=10x_3 + x_4 = 10
- (3,3): x4+d1=8x_4 + d_1 = 8
olarak kurulur.
Her hücredeki sayının, o hücreyi kapsayan tüm işlemlerin toplam sayısına eşit olmasından dolayı.
3
Merkezdeki KK hücresinin değerini veren ifadeyi bulalım ve denklem sistemini çözerek bu değeri hesaplayalım.
Merkezdeki hücre dört alt tablonun ve her iki köşegenin kesişiminde yer aldığından değeri K=x1+x2+x3+x4+d1+d2K = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + d_1 + d_2 olur.

Sistemden:
- x1+x2=8x_1 + x_2 = 8
- x3+x4=10x_3 + x_4 = 10
- d2=8−x2=8−(8−x1)=x1d_2 = 8 - x_2 = 8 - (8 - x_1) = x_1
- d1=5−x1d_1 = 5 - x_1

Buradan d1+d2=(5−x1)+x1=5d_1 + d_2 = (5 - x_1) + x_1 = 5 bulunur.

Sonuç olarak:
K=(x1+x2)+(x3+x4)+(d1+d2)=8+10+5=23K = (x_1 + x_2) + (x_3 + x_4) + (d_1 + d_2) = 8 + 10 + 5 = 23 elde edilir.
Denklemleri gruplandırarak tek tek bilinmeyenleri bulmaya gerek kalmadan toplamı doğrudan elde etmek için.

Anahtar Kavram

Cebirsel Modelleme ve Denklem Sistemleri yardımıyla Rutin Olmayan Problemlerin Çözümü
Bu soruyu puanla

Konular

Rutin Olmayan Problemler

Bu konudan daha fazla soru