Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
xx bir gerçel sayı ve aa bir sabit sayı olmak üzere,
(2−a)x+12>0(2 - a)x + 12 > 0
eşitsizliği veriliyor.

Bu eşitsizlikle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* Eşitsizliğin çözüm kümesi tüm gerçel sayılar kümesi değildir.
* x=3x = 3 değeri bu eşitsizliği sağlarken, x=5x = 5 değeri sağlamamaktadır.

Buna göre, aa sayısının alabileceği en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    (2,225]\left(2, \frac{22}{5}\right]
  2. B
    (−∞,225]∪(6,∞)\left(-\infty, \frac{22}{5}\right] \cup (6, \infty)
  3. [225,6)\left[\frac{22}{5}, 6\right)Cevap
  4. D
    \emptyset
  5. E
    (2, 6)

Cevap

a sayısının alabileceği en geniş değer aralığı [22/5, 6) yarı açık aralığıdır.
Doğru olan seçenekteki aralık, x'in katsayısı olan 2-a ifadesinin negatif olması gerektiği gerçeği ve negatif sayıyla yapılan çarpma/bölme işlemlerinde eşitsizliğin yön değiştirme kuralları tam olarak uygulanarak elde edilmiştir. Bu aralıktaki a değerleri için sınır değeri 3 ile 5 arasında (3 hariç, 5 dahil) yer alır ve çözüm kümesi x < B şeklinde olup istenen tüm koşulları sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizlikte x terimini yalnız bırakalım.
(2−a)x>−12(2 - a)x > -12 elde edilir. Çözüm kümesinin boş küme veya tüm gerçel sayılar olmaması için 2−a≠02 - a \neq 0 olmalıdır.
Eşitsizliğin sınır değerlerini ve yönünü belirleyen x'in katsayısını analiz etmek için.
2
Eşitsizliğin katsayısı olan 2 - a ifadesinin işaretini belirleyelim.
Eğer 2−a>02 - a > 0 olsaydı, her iki tarafı 2−a2-a'ya böldüğümüzde eşitsizlik yön değiştirmez ve x>−122−ax > \frac{-12}{2-a} olurdu. Bu durumda x=3x=3 değeri eşitsizliği sağlıyorsa, 3'ten büyük olan x=5x=5 değerinin de sağlaması gerekirdi. Ancak soruda x=5x=5 değerinin sağlamadı��ı verilmiştir. Dolayısıyla 2−a<02 - a < 0 (yani a>2a > 2) olmalıdır. Bu durumda her iki tarafı negatif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik yön değiştirir ve çözüm kümesi x<−122−ax < \frac{-12}{2-a} olur.
Negatif bir sayıya bölme işleminde eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralını uygulamak ve çözüm kümesinin yapısını tespit etmek için.
3
Verilen x değerlerinin sağlama durumlarına göre sınır değeri için eşitsizlik yazalım.
x=3x = 3 değeri çözüm kümesinde olduğundan 3<−122−a3 < \frac{-12}{2-a} olmalıdır. x=5x = 5 değeri çözüm kümesinde olmadığından 5≥−122−a5 \ge \frac{-12}{2-a} olmalıdır. Buradan 3<−122−a≤53 < \frac{-12}{2-a} \le 5 bileşik eşitsizliği elde edilir.
Sağlayan ve sağlamayan değerlerin sınır değerine göre konumunu belirlemek için.
4
Elde edilen 3<−122−a≤53 < \frac{-12}{2-a} \le 5 eşitsizliğini a parametresi için çözelim.
2−a<02 - a < 0 olduğundan, eşitsizliğin her tarafını 2−a2-a ile çarptığımızda eşitsizlikler yön değiştirir: 3(2−a)>−12≥5(2−a)3(2-a) > -12 \ge 5(2-a) elde edilir. Buradan:
1) 6−3a>−12  ⟹  −3a>−18  ⟹  a<66 - 3a > -12 \implies -3a > -18 \implies a < 6 (negatif sayıya bölerken yön değişti).
2) −12≥10−5a  ⟹  5a≥22  ⟹  a≥225-12 \ge 10 - 5a \implies 5a \ge 22 \implies a \ge \frac{22}{5} bulunur.
Bu iki aralığın kesişimi 225≤a<6\frac{22}{5} \le a < 6 aralığıdır. Bu aralık a>2a > 2 koşulunu da sağlamaktadır.
Bilinmeyen a parametresinin sınır değerlerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif sayı ile çarpma veya bölme işlemlerinde eşitsizliğin yön değiştirmesi.

Alternatif Yöntem

Eşitsizliğin sınır değerini belirleyen denklemi (2-a)x + 12 = 0 olarak düşünebiliriz. Eşitsizliği sınırlandıran kritik noktaları bulmak için x = 3 ve x = 5 değerlerini bu sınır denkleminde yerine yazabiliriz. x = 3 için 3(2-a) + 12 = 0 ise a = 6 bulunur. x = 5 için 5(2-a) + 12 = 0 ise a = 22/5 bulunur. a'nın bu sınır değerleri arasında eşitsizliğin yönü incelenerek çözüm aralığı pratik olarak belirlenebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru