Examkin

Soru

Zorluk: ZorRutin Olmayan Problemler

Yan yana duran 6 kutunun her birinde başlangıçta soldan sağa sırasıyla 4, 2, 5, 3, 1 ve 7 adet bilye bulunmaktadır. Bu kutulara uygulanan her bir işlemde, yan yana bulunan herhangi iki kutu seçilerek bu kutuların her birine birer bilye eklenmekte ya da her birinden birer bilye çıkarılmaktadır. Kutulardaki bilye sayısı hiçbir zaman negatif bir değer almadığına göre, yapılan işlemler sonucunda kutulardaki bilye sayısı aşağıdakilerden hangisi gibi olamaz?

  1. (3,3,3,3,3,3)(3, 3, 3, 3, 3, 3)Cevap
  2. B
    (5,3,4,4,2,6)(5, 3, 4, 4, 2, 6)
  3. C
    (2,1,3,2,1,5)(2, 1, 3, 2, 1, 5)
  4. D
    (6,4,5,5,2,6)(6, 4, 5, 5, 2, 6)
  5. E
    (1,0,2,1,0,4)(1, 0, 2, 1, 0, 4)

Cevap

Tüm kutularda 3 bilye bulunması, yani (3,3,3,3,3,3)(3, 3, 3, 3, 3, 3) durumu
Her işlemde seçilen iki kutunun biri tek indisli konumda, diğeri ise çift indisli konumda yer alır. Bu nedenle, yapılan her ekleme veya çıkarma işlemi tek indisli kutuların toplamı ile çift indisli kutuların toplamını eşit miktarda değiştirir. Dolayısıyla bu iki grubun toplam bilye sayıları arasındaki fark (T−C\cT - Ç) daima korunur. Başlangıçtaki fark 10−12=−210 - 12 = -2 olup, tüm kutularda 3 bilye olması durumunda fark 9−9=09 - 9 = 0 olmaktadır. Bu fark korunamadığı için bu duruma ulaşılamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Kutuları indislerine göre gruplandırma
Kutuları 1'den 6'ya kadar numaralandırıp tek indisli kutular {1,3,5}\{1, 3, 5\} ve çift indisli kutular {2,4,6}\{2, 4, 6\} olmak üzere iki gruba ayıralım.
Her işlemin kutu grupları üzerindeki etkisini incelemek amacıyla.
2
İşlemlerin etkisini analiz etme
Yan yana seçilen herhangi iki kutudan biri daima tek indisli grupta, diğeri ise çift indisli grupta yer alır. Bu iki kutuya aynı anda 1 bilye eklemek ya da çıkarmak, her iki grubun toplam bilye sayısını aynı anda 1 artırır ya da 1 azaltır.
Sistemdeki değişmez (invariant) özelliği bulmak amacıyla.
3
Değişmez (invariant) bağıntıyı tanımlama
Tek indisli kutulardaki toplam bilye sayısı TT ve çift indisli kutulardaki toplam bilye sayısı C\cÇ olsun. Yapılan her işlemde hem TT hem de C\cÇ aynı miktarda değişeceğinden, T−C\cT - Ç farkı hiçbir işlemle değişmez ve daima sabit kalır.
Sistemin ulaşabileceği durumları sınırlayan kuralı belirlemek amacıyla.
4
Başlangıç durumu ile seçeneklerdeki durumları karşılaştırma
Başlangıçta T0=4+5+1=10T_0 = 4 + 5 + 1 = 10 ve C\c0=2+3+7=12Ç_0 = 2 + 3 + 7 = 12 olduğundan sabit fark T−C\c=10−12=−2T - Ç = 10 - 12 = -2 olmalıdır. Tüm kutularda 3 bilye olması durumunda ise T=3+3+3=9T = 3 + 3 + 3 = 9 ve C\c=3+3+3=9Ç = 3 + 3 + 3 = 9 olup fark T−C\c=9−9=0T - Ç = 9 - 9 = 0 olur. Farkın −2-2 olması gerektiğinden bu duruma ulaşılamaz.
Hangi durumun elde edilemeyeceğini saptamak amacıyla.

Anahtar Kavram

Rutin Olmayan Problemlerde Değişmezlik (İnvariant) İlkesi

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, başlangıç durumundan hedef duruma geçmek için yapılması gereken değişimler yazılıp, yan yana olan kutuların değişim miktarları arasında doğrusal bir denklem sistemi kurulabilir. Kurulan bu denklem sisteminin tüm kutularda 3 bilye olması durumunda tutarsız olduğu, diğer durumlarda ise tutarlı çözümler verdiği gösterilebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Rutin Olmayan Problemler

Bu konudan daha fazla soru