Examkin

Soru

Zorluk: OrtaRutin Olmayan Problemler

Bir dairesel pist üzerinde eşit aralıklarla yerleştirilmiş 1212 adet hedef tahtası saat yönünde 11'den 1212'ye kadar numaralandırılmıştır. Bir okçu, ilk atışını 11 numaralı hedefe yaptıktan sonra her seferinde saat yönünde 44 hedef atlayarak sıradaki hedefe atış yapmaktadır. Örneğin; okçu 11 numaralı hedefe atı�� yaptıktan sonra ikinci atışını 66 numaralı hedefe yapmaktadır.

Okçu bu şekilde toplam 4545 atış yaptığına göre, bu atışların kaç tanesini çift numaralı hedeflere yapmıştır?

  1. A
    2020
  2. B
    2121
  3. 2222Cevap
  4. D
    2323
  5. E
    2424

Cevap

Toplamda 22 atış çift numaralı hedeflere yapılmıştır.
Okçunun yaptığı her 12 atışlık döngüde hedeflerin 6 tanesi çift numaralıdır. Toplam 45 atış, 3 tam döngü (36 atış) ve 9 ek atıştan oluşur. 3 tam döngüde 18 çift hedef vurulurken, kalan 9 atışta (1, 6, 11, 4, 9, 2, 7, 12, 5) 4 adet çift hedef (6, 4, 2, 12) vurulur. Böylece toplam çift hedef sayısı 22 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Okçunun vurduğu hedeflerin sırasını belirlemek.
Hedeflerin vurulma sırası: 1,6,11,4,9,2,7,12,5,10,3,8,1,6,…1, 6, 11, 4, 9, 2, 7, 12, 5, 10, 3, 8, 1, 6, \dots şeklindedir.
Her adımda saat yönünde 4 hedef atlandığından bir sonraki hedef, mevcut hedefin 5 fazlasıdır (mod 12).
2
Oluşan örüntünün periyodunu bulmak.
Örüntünün periyodu 1212 atıştır. İlk 1212 atışta vurulan hedefler: 1,6,11,4,9,2,7,12,5,10,3,81, 6, 11, 4, 9, 2, 7, 12, 5, 10, 3, 8 şeklindedir ve 13.13. atışta tekrar 11 numaralı hedefe dönülür.
12 ile 5 aralarında asal olduğu için tüm hedefler vurulduktan sonra başlangıç noktasına geri dönülür.
3
Bir periyottaki çift numaralı hedef sayısını bulmak.
Bir periyotta vurulan çift numaralı hedefler: 6,4,2,12,10,86, 4, 2, 12, 10, 8 olmak üzere toplam 66 tanedir.
Bir periyottaki çift ve tek hedef dağılımını belirlemek için gereklidir.
4
Toplam 45 atışın periyotlara ve kalan atışlara bölünmesi.
45=3×12+945 = 3 \times 12 + 9 olduğundan, okçu 33 tam periyot ve ardından 99 ek atış yapmıştır.
Toplam atış sayısı içerisindeki tam periyot sayısını ve artan atışları belirlemek için.
5
Toplam çift numaralı hedeflerin sayısını hesaplamak.
33 tam periyottan 3×6=183 \times 6 = 18 çift hedef gelir. Kalan 99 atıştaki hedefler sırasıyla: 1,6,11,4,9,2,7,12,51, 6, 11, 4, 9, 2, 7, 12, 5 olup bunlardan 44 tanesi (6,4,2,126, 4, 2, 12) çifttir. Toplam çift hedef sayısı: 18+4=2218 + 4 = 22 olur.
Vurulan toplam çift numaralı hedef sayısını bulmak için periyotlardan gelen ve kalan atışlardan gelen miktarlar toplanır.

Anahtar Kavram

Rutin olmayan periyodik problemler ve modüler aritmetik yardımıyla döngü analizi.

Alternatif Yöntem

Dairesel pistteki adımları modüler aritmetik kullanarak formüle edebiliriz. nn. atışta vurulan hedef f(n)f(n) olsun. f(n)=(1+5(n−1))(mod12)f(n) = (1 + 5(n - 1)) \pmod{12} olarak yazılabilir (sonuç 0 ise 12 alınır). Burada f(n)f(n)'nin çift olması için 1+5(n−1)≡0(mod2)⇒5(n−1)≡1(mod2)⇒n−1≡1(mod2)⇒n1 + 5(n - 1) \equiv 0 \pmod 2 \Rightarrow 5(n-1) \equiv 1 \pmod 2 \Rightarrow n-1 \equiv 1 \pmod 2 \Rightarrow n çift olmalıdır. Yani nn çift sayı olduğunda vurulan hedef çift numaralıdır. 1≤n≤451 \le n \le 45 aralığındaki çift nn sayılarının adedi, çift hedeflere yapılan atış sayısına eşittir. 22'den 4444'e kadar olan çift sayıların sayısı 44−22+1=22\frac{44 - 2}{2} + 1 = 22 tanedir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Rutin Olmayan Problemler

Bu konudan daha fazla soru