Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKesir Problemleri

Bir boya fabrikasında bulunan AA, BB ve CC tanklarındaki boya miktarları ve bu tankların kapasiteleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Tankların kapasiteleri sırasıyla VAV_A, VBV_B ve VCV_C litredir.
* AA tankındaki boyanın 13\frac{1}{3}'ü BB tankına aktarıldığında BB tankı tamamen dolmaktadır.
* Daha sonra, son durumdaki BB tankında bulunan boyanın 13\frac{1}{3}'ü CC tankına aktarıldığında CC tankı tamamen dolmaktadır.
* Son olarak, son durumdaki CC tankında bulunan boyanın 14\frac{1}{4}'ü AA tankına aktarılmaktadır.
* Bu son aktarım işleminden sonra AA tankındaki boya miktarının, AA'nın başlangıçtaki boya miktarına oranı 1112\frac{11}{12} olmuştur.

Başlangıçta CC tankında bulunan boya miktarı, CC tankının kapasitesinin yarısına eşit olduğuna göre; başlangıçta BB tankında bulunan boya miktarının, BB tankının kapasitesine oranı kaçtır?

  1. A
    89\frac{8}{9}
  2. 79\frac{7}{9}Cevap
  3. C
    56\frac{5}{6}
  4. D
    911\frac{9}{11}
  5. E
    1921\frac{19}{21}

Cevap

Başlangıçta B tankındaki boya miktarının B tankının kapasitesine oranı 7/9'dur.
Denklemleri sırasıyla kurduğumuzda: Birinci aktarımdan sonra B dolduğu için VB=b+a/3V_B = b + a/3 ve A'da kalan 2a/32a/3 olur. İkinci aktarımdan sonra C dolduğu için VC=c+VB/3V_C = c + V_B/3 olur. Üçüncü aktarımdan sonra A'daki son miktar 2a/3+VC/4=11a/122a/3 + V_C/4 = 11a/12 olur. Buradan VC=aV_C = a elde edilir. Başlangıçta c=VC/2=a/2c = V_C/2 = a/2 olduğu için a=a/2+VB/3  ⟹  VB=3a/2a = a/2 + V_B/3 \implies V_B = 3a/2 bulunur. VB=b+a/3V_B = b + a/3 denkleminde yerine konulduğunda 3a/2=b+a/3  ⟹  b=7a/63a/2 = b + a/3 \implies b = 7a/6 elde edilir. Dolayısıyla başlangıçtaki boya miktarının kapasiteye oranı b/VB=(7a/6)/(3a/2)=7/9b / V_B = (7a/6) / (3a/2) = 7/9 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Tanklardaki başlangıç boya miktarlarını aa, bb, cc ve kapasiteleri VAV_A, VBV_B, VCV_C olarak tanımlayıp birinci aktarım denklemini yazalım.
AA'dan BB'ye a3\frac{a}{3} boya aktarıldığında BB dolmaktadır. Bu durumda BB'nin son durumdaki boya miktarı kapasitesine eşit olur: VB=b+a3V_B = b + \frac{a}{3}. AA'da kalan boya miktarı ise 23a\frac{2}{3}a olur.
Aktarım sonrasında B tankının tamamen dolduğu belirtilmiştir.
2
İkinci aktarım denklemini yazalım.
Tamamen dolu olan BB tankındaki (VBV_B) boyanın 13\frac{1}{3}'ü CC'ye aktarıldığında CC dolmaktadır. Bu durumda CC'nin son boya miktarı kapasitesine eşit olur: VC=c+VB3V_C = c + \frac{V_B}{3}. BB'de kalan boya miktarı 23VB\frac{2}{3}V_B olur.
B tankındaki boyanın üçte birinin aktarılmasıyla C tankının tamamen dolduğu belirtilmiştir.
3
Üçüncü aktarım denklemini ve son durumdaki AA tankının oranını kullanarak VCV_C ile aa arasındaki ilişkiyi bulalım.
Tamamen dolu olan CC tankındaki (VCV_C) boyanın 14\frac{1}{4}'ü AA'ya aktarılıyor. AA'daki son boya miktarı: 23a+VC4\frac{2}{3}a + \frac{V_C}{4} olur. Bu miktar başlangıçtaki aa miktarının 1112\frac{11}{12}'sine eşittir: 23a+VC4=1112a  ⟹  VC4=1112a−812a=312a=14a  ⟹  VC=a\frac{2}{3}a + \frac{V_C}{4} = \frac{11}{12}a \implies \frac{V_C}{4} = \frac{11}{12}a - \frac{8}{12}a = \frac{3}{12}a = \frac{1}{4}a \implies V_C = a.
Son durumdaki A tankındaki boya miktarının başlangıca oranı 11/12 olarak verilmiştir.
4
Başlangıçtaki cc boya miktarını aa cinsinden bulalım ve VBV_B'yi hesaplayalım.
Başlangıçta c=12VCc = \frac{1}{2}V_C olarak verilmiştir. VC=aV_C = a olduğundan c=12ac = \frac{1}{2}a olur. İkinci adımdaki denklemde yerine yazarsak: a=12a+VB3  ⟹  12a=VB3  ⟹  VB=32aa = \frac{1}{2}a + \frac{V_B}{3} \implies \frac{1}{2}a = \frac{V_B}{3} \implies V_B = \frac{3}{2}a.
C tankındaki başlangıç boyasının kapasitesinin yarısı olduğu bilgisi kullanılmıştır.
5
Başlangıçtaki bb boya miktarını aa cinsinden bulalım ve istenen oranı hesaplayalım.
Birinci adımdaki denklemde VB=32aV_B = \frac{3}{2}a yazarsak: 32a=b+a3  ⟹  b=32a−a3=76a\frac{3}{2}a = b + \frac{a}{3} \implies b = \frac{3}{2}a - \frac{a}{3} = \frac{7}{6}a bulunur. İstenen oran: bVB=76a32a=76⋅23=79\frac{b}{V_B} = \frac{\frac{7}{6}a}{\frac{3}{2}a} = \frac{7}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{7}{9} olur.
Başlangıçtaki b miktarının B tankının kapasitesi olan V_B'ye oranı sorulmuştur.

Anahtar Kavram

Çok adımlı kesir problemlerinde transfer edilen miktarların hangi referans değer (kapasite, başlangıç miktarı, kalan miktar) üzerinden hesaplanacağını doğru belirlemek ve adımları tersten veya değişkenler arası oran kurarak takip etmek.

Alternatif Yöntem

Değişkenler arasında kolayca işlem yapabilmek için A tankındaki başlangıç boya miktarına a=12xa = 12x diyelim. Birinci transferden sonra A tankında 8x8x boya kalır. Son durumda A tankında 11x11x boya olduğuna göre, son transferle C tankından A'ya 3x3x boya gelmiştir. Bu miktar C'nin kapasitesinin 14\frac{1}{4}'ü olduğuna göre C tankının kapasitesi VC=12xV_C = 12x olur. C'nin başlangıçtaki miktarı c=VC/2=6xc = V_C/2 = 6x olur. C tankına B'den gelen boya miktarı 12x−6x=6x12x - 6x = 6x'dir. Bu gelen miktar B'nin kapasitesinin 13\frac{1}{3}'ü olduğuna göre B'nin kapasitesi VB=18xV_B = 18x olur. B tankına A'dan gelen boya miktarı 12x/3=4x12x/3 = 4x'tir. B tankının dolması için 4x4x gerektiğine göre başlangıçtaki boya miktarı b=18x−4x=14xb = 18x - 4x = 14x olur. İstenen oran ise b/VB=14x/18x=7/9b/V_B = 14x/18x = 7/9 olarak çok daha hızlı bir şekilde bulunur.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kesir Problemleri

Bu konudan daha fazla soru