Examkin

Soru

Zorluk: ZorBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
Sıfırdan farklı aa ve bb gerçel sayıları için xx değişkenine bağlı
a⋅x+b>0 a \cdot x + b > 0
ve
b⋅x−a<0 b \cdot x - a < 0
eşitsizliklerinin en geniş çözüm kümeleri sırasıyla KK ve LL dir.

K∩L=∅K \cap L = \emptyset olduğuna göre,
I. a⋅b>0a \cdot b > 0
II. a+b<0a + b < 0
III. a>ba > b

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve II ifadeleri her zaman doğrudur.
Doğru yanıt olan 'I ve II' ifadesinin doğruluğu şu şekilde açıklanır: Eşitsizliklerin çözümü sırasında, a ve b negatif olduğundan her iki eşitsizlikte de bilinmeyen yalnız bırakılırken eşitsizlik yön değiştirir. Buradan K=(−∞,−b/a)K = (-\infty, -b/a) ve L=(a/b,∞)L = (a/b, \infty) aralıkları elde edilir. Bu iki aralığın kesişiminin boş küme olması için −b/a<a/b-b/a < a/b şartı sağlanmalıdır. a ve b negatif olduğundan −b/a-b/a değeri negatif, a/ba/b değeri ise pozitiftir; dolayısıyla bu eşitsizlik her zaman doğrudur. a ve b negatif sayılar olduğundan, çarpımları pozitif (a⋅b>0a \cdot b > 0) ve toplamları negatif (a+b<0a + b < 0) olur. a ve b arasındaki büyüklük ilişkisi ise kesin olarak bilinemez.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği çözelim.
a⋅x>−ba \cdot x > -b elde edilir. Her iki tarafı aa'ya bölerken aa'nın işaretine göre iki durum oluşur: a>0a > 0 ise x>−bax > -\frac{b}{a} ve K=(−ba,∞)K = (-\frac{b}{a}, \infty) olur. a<0a < 0 ise eşitsizlik yön değiştirir, x<−bax < -\frac{b}{a} ve K=(−∞,−ba)K = (-\infty, -\frac{b}{a}) olur.
xx değişkenini yalnız bırakmak ve KK çözüm kümesini aa ile bb cinsinden ifade etmek için.
2
İkinci eşitsizliği çözelim.
b⋅x<ab \cdot x < a elde edilir. Her iki tarafı bb'ye bölerken bb'nin işaretine göre iki durum oluşur: b>0b > 0 ise x<abx < \frac{a}{b} ve L=(−∞,ab)L = (-\infty, \frac{a}{b}) olur. b<0b < 0 ise eşitsizlik yön değiştirir, x>abx > \frac{a}{b} ve L=(ab,∞)L = (\frac{a}{b}, \infty) olur.
xx değişkenini yalnız bırakmak ve LL çözüm kümesini aa ile bb cinsinden ifade etmek için.
3
K∩L=∅K \cap L = \emptyset koşulunu sağlayan durumları analiz edelim.
aa ve bb işaretlerine göre 4 durumu incelersek: Hem a<0a < 0 hem de b<0b < 0 olduğunda K=(−∞,−ba)K = (-\infty, -\frac{b}{a}) ve L=(ab,∞)L = (\frac{a}{b}, \infty) olur. −b<0-b < 0 ve a<0a < 0 olduğundan −ba<0-\frac{b}{a} < 0 dır. a<0a < 0 ve b<0b < 0 olduğundan ab>0\frac{a}{b} > 0 dır. Dolayısıyla −ba<0<ab-\frac{b}{a} < 0 < \frac{a}{b} olduğundan bu iki aralık kesişmez (K∩L=∅K \cap L = \emptyset). Diğer tüm durumlarda aralıklar kesişir. Dolayısıyla a<0a < 0 ve b<0b < 0 olmalıdır.
Kesişimin boş küme olmasını sağlayan aa ve bb değerlerinin işaretlerini belirlemek için.
4
Öncülleri elde ettiğimiz işaretlere göre değerlendirelim.
a<0a < 0 ve b<0b < 0 olduğundan: I. a⋅b>0a \cdot b > 0 (doğru), II. a+b<0a + b < 0 (doğru), III. a>ba > b (her zaman doğru değil, örneğin a=−2,b=−1a = -2, b = -1 için yanlış, a=−1,b=−2a = -1, b = -2 için doğru).
Hangi öncüllerin her zaman doğru olduğunu bulmak için.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif sayıya bölme durumunda yön değiştirme kuralı ve aralıkların sayı doğrusunda gösterimi.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru