Examkin

Soru

Zorluk: KolayRutin Olmayan Problemler

Bir matematik öğretmeni, tahtaya iki basamaklı sayılarla ilgili yeni bir işlem tanımlamıştır. Bu tanıma göre, her iki basamaklı abab doğal sayısı için ⋆\star işlemi, sayının onlar basamağındaki rakamın karesi ile birler basamağındaki rakamın karesinin farkı alınarak hesaplanmaktadır. Öğretmen bu işlemi şu şekilde sembolize etmiştir:

ab⋆=a2−b2ab \star = a^2 - b^2

Buna göre, tahtadaki bu tanıma uygun olarak ab⋆=15ab \star = 15 eşitliğini sağlayan kaç farklı abab iki basamaklı doğal sayısı yazılabilir?

  1. A
    1
  2. 2Cevap
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5

Cevap

2 farklı iki basamaklı doğal sayı yazılabilir.
Tanımlanan işleme göre a2−b2=15a^2 - b^2 = 15 olmalıdır. Buradan (a−b)(a+b)=15(a - b)(a + b) = 15 yazılır. Rakamlar kümesinde bu koşulu sağlayan ve aa ile bb değerlerinin rakam olduğu durumlar incelenirse, (a,b)(a, b) ikilileri (4,1)(4, 1) ve (8,7)(8, 7) olarak bulunur. Dolayısıyla abab iki basamaklı sayısı 41 ve 87 olmak üzere 2 farklı değer alabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanımlanan ⋆\star işlemini matematiksel denklem olarak ifade edin.
a2−b2=15a^2 - b^2 = 15 denklemi elde edilir.
Soruda verilen kurala göre iki basamaklı abab sayısının hanelerindeki rakamların kareleri farkı 15'e eşitlenmelidir.
2
İki kare farkı özdeşliğini kullanarak denklemi çarpanlarına ayırın.
(a−b)(a+b)=15(a - b)(a + b) = 15 elde edilir.
a2−b2a^2 - b^2 ifadesi iki kare farkı özdeşliği ile daha kolay çözülebilir hale getirilir.
3
15 sayısının pozitif tam sayı çarpanlarını belirleyin ve rakam koşuluna göre eşleştirin.
Çarpan çiftleri (15,1)(15, 1) ve (5,3)(5, 3)'tür. aa ve bb rakam olduğu için a+ba+b en fazla 9+9=189+9=18 olabilir.
aa ve bb değerlerinin rakam olması sınır koşullarını belirler.
4
Her iki çarpan çifti için denklem sistemlerini çözerek aa ve bb rakamlarını bulun.
1. Durum: a+b=15a+b=15 ve a−b=1  ⟹  a=8,b=7a-b=1 \implies a=8, b=7 (87 sayısı). 2. Durum: a+b=5a+b=5 ve a−b=3  ⟹  a=4,b=1a-b=3 \implies a=4, b=1 (41 sayısı).
Elde edilen aa ve bb değerlerinin rakam olduğu ve iki basamaklı abab sayısını oluşturduğu doğrulanır.

Anahtar Kavram

Rutin Olmayan Problemler ve Sayı Basamakları
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Rutin Olmayan Problemler

Bu konudan daha fazla soru