Examkin

Soru

Zorluk: ZorBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
aa ve bb gerçel sayılar olmak üzere, xx değişkenine bağlı
a(x−3)>b(x+1) a(x - 3) > b(x + 1)
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (2,∞)(2, \infty) aralığıdır.

Buna göre;
I. a⋅b>0a \cdot b > 0
II. a+b>0a + b > 0
III. a+3b=0a + 3b = 0

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız III
  3. C
    I ve II
  4. II ve IIICevap
  5. E
    I, II ve III

Cevap

II ve III
Doğru olan seçenekte ikinci ve üçüncü öncüller yer almaktadır. Çünkü a−b>0a - b > 0 olduğundan a>ba > b olur ve 3a+ba−b=2\frac{3a + b}{a - b} = 2 eşitliğinden a=−3ba = -3b elde edilir. Bu iki bilgi birleştirildiğinde b<0b < 0 ve a>0a > 0 bulunur. Buradan a+b=−2b>0a + b = -2b > 0 ve a+3b=0a + 3b = 0 ifadelerinin kesinlikle doğru olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen a(x−3)>b(x+1)a(x - 3) > b(x + 1) eşitsizliğinde parantezleri açıp xx terimlerini sol tarafa toplarız.
ax−3a>bx+b  ⟹  (a−b)x>3a+bax - 3a > bx + b \implies (a - b)x > 3a + b elde edilir.
Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesini bulmak için xx değişkenini yalnız bırakmalıyız.
2
Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesinin (2,∞)(2, \infty) yani x>2x > 2 olduğu bilgisinden yararlanarak xx'in katsayısının işaretini belirleriz.
a−b>0a - b > 0 yani a>ba > b olmalıdır.
Elde edilen (a−b)x>3a+b(a-b)x > 3a+b eşitsizliği ile çözüm kümesinin yönü (x>2x > 2) aynı olduğundan, eşitsizlik yön değiştirmemiştir. Bu da bölünen katsayının pozitif olduğunu gösterir.
3
Her iki tarafı a−ba - b ifadesine bölerek sınır değerini 22'ye eşitleriz.
x>3a+ba−b  ⟹  3a+ba−b=2  ⟹  3a+b=2a−2b  ⟹  a=−3bx > \frac{3a + b}{a - b} \implies \frac{3a + b}{a - b} = 2 \implies 3a + b = 2a - 2b \implies a = -3b (yani a+3b=0a + 3b = 0) bulunur.
Çözüm kümesinin alt sınırı olan 22 değeri, eşitsizlik sınır değerine eşit olmalıdır.
4
a=−3ba = -3b eşitliğini a>ba > b eşitsizliğinde yerine yazarak parametrelerin işaretlerini belirleriz ve öncülleri inceleriz.
−3b>b  ⟹  −4b>0  ⟹  b<0-3b > b \implies -4b > 0 \implies b < 0 olur. b<0b < 0 ise a=−3b>0a = -3b > 0 olur. Buradan:
I. a⋅b<0a \cdot b < 0 olur (I. öncül yanlıştır).
II. a+b=−3b+b=−2ba + b = -3b + b = -2b olur. b<0b < 0 olduğundan −2b>0-2b > 0 olur (II. öncül doğrudur).
III. a+3b=0a + 3b = 0 olduğu zaten bulunmuştu (III. öncül doğrudur).
Öncüllerin doğruluğunu kesin olarak belirlemek için parametrelerin işaretlerini ve birbirleriyle olan oranlarını analiz etmek gerekir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde katsayının işaretine göre yön değiştirme kuralı ve çözüm kümesi sınır değerleri.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru