Examkin

Soru

Zorluk: ZorBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere, xx değişkenine bağlı
(a−b)x+2a−b<0 (a - b)x + 2a - b < 0
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (13,∞)\left(\frac{1}{3}, \infty\right) olarak veriliyor.
Buna göre, xx değişkenine bağlı
(a−2b)x+3a−b≤0 (a - 2b)x + 3a - b \leq 0
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
  1. [12,∞)[\frac{1}{2}, \infty)Cevap
  2. B
    (−∞,12](-\infty, \frac{1}{2}]
  3. C
    (12,∞)(\frac{1}{2}, \infty)
  4. D
    (−∞,12)(-\infty, \frac{1}{2})
  5. E
    [−12,∞)[-\frac{1}{2}, \infty)

Cevap

[12,∞)[\frac{1}{2}, \infty) yarı açık aralığı
Doğru cevap olan aralık, birinci eşitsizlikteki yön değişiminden a<ba < b ve b>0b > 0 olduğunu saptadıktan sonra, ikinci eşitsizlikte a=47ba = \frac{4}{7}b dönüşümü yapılarak elde edilen katsayının negatif olduğunu görerek her iki tarafın negatif sayıya bölünmesiyle elde edilen x≥12x \geq \frac{1}{2} sonucunu verir. Bu da [12,∞)[\frac{1}{2}, \infty) yarı açık aralığına karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk eşitsizlikteki bilinmeyen terimi yalnız bırakalım.
(a−b)x<b−2a(a - b)x < b - 2a elde edilir.
Eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak için xx değişkeninin katsayısını belirlemeliyiz.
2
Eşitsizliğin çözüm kümesinin yönü ile ilk eşitsizliğin yönünü karşılaştırarak katsayının işaretini belirleyelim.
İlk eşitsizlikte sembol << iken çözüm kümesi x>13x > \frac{1}{3} şeklindedir (yani yön değiştirmiştir). Bu durum, her iki tarafın negatif bir sayıya bölündüğünü gösterir. Dolayısıyla, a−b<0⇒a<ba - b < 0 \Rightarrow a < b olmalıdır.
Eşitsizliklerde her iki taraf negatif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirir.
3
Sınır değerini kullanarak aa ile bb arasındaki bağıntıyı bulalım.
b−2aa−b=13⇒3(b−2a)=a−b⇒3b−6a=a−b⇒4b=7a⇒a=47b\frac{b - 2a}{a - b} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3(b - 2a) = a - b \Rightarrow 3b - 6a = a - b \Rightarrow 4b = 7a \Rightarrow a = \frac{4}{7}b bulunur.
Çözüm kümesinin alt sınırı 13\frac{1}{3} olarak verildiğinden, sınır değerlerin eşit olması gerekir.
4
Bulduğumuz bağıntıyı a−b<0a - b < 0 eşitsizliğinde yerine yazarak bb'nin işaretini belirleyelim.
47b−b<0⇒−37b<0⇒b>0\frac{4}{7}b - b < 0 \Rightarrow -\frac{3}{7}b < 0 \Rightarrow b > 0 bulunur. Buradan da a>0a > 0 olduğu anlaşılır.
bb değişkeninin işaretini bilmek, ikinci eşitsizlikte böleceğimiz katsayının işaretini doğru belirlemek için şarttır.
5
İkinci eşitsizlikte a=47ba = \frac{4}{7}b yazarak eşitsizliği bb cinsinden sadeleştirelim.
(47b−2b)x+3(47b)−b≤0⇒−107bx+57b≤0(\frac{4}{7}b - 2b)x + 3(\frac{4}{7}b) - b \leq 0 \Rightarrow -\frac{10}{7}bx + \frac{5}{7}b \leq 0 elde edilir.
Eşitsizliği tek bir değişkene indirgeyerek çözüme ulaşmak hedeflenir.
6
Eşitsizliği xx için çözelim.
−107bx≤−57b-\frac{10}{7}bx \leq -\frac{5}{7}b ifadesinde her iki tarafı 77 ile çarpıp bb pozitif sayısına bölelim: −10x≤−5-10x \leq -5 olur. Her iki tarafı −10-10 negatif sayısına böldüğümüzde eşitsizlik yön değiştirir ve x≥12x \geq \frac{1}{2} elde edilir.
Negatif sayıya bölme işlemi yapıldığı için eşitsizlik yön değiştirmiştir ve küçük-eşit sembolü dahil olduğu için sınır noktası kapalı aralık olmalıdır.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif bir sayı ile çarpma veya bölme işlemlerinde eşitsizlik yönünün değişmesi kuralı ile aralık uç noktalarının dahil olma (kapalı aralık) durumunun incelenmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru