Examkin

Soru

Zorluk: ZorBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler
aa ve bb sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, xx değişkenine bağlı
(a−b)x+2a−5b>0 (a - b)x + 2a - 5b > 0
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (−∞,3)(-\infty, 3) aralığıdır.
Buna göre, xx değişkenine bağlı
(2b−a)x+a+b<0 (2b - a)x + a + b < 0
eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    (−∞,−132)(-\infty, -\frac{13}{2})
  2. B
    (−∞,14)(-\infty, \frac{1}{4})
  3. (−132,∞)(-\frac{13}{2}, \infty)Cevap
  4. D
    [−132,∞)[-\frac{13}{2}, \infty)
  5. E
    (−∞,−1311)(-\infty, -\frac{13}{11})

Cevap

En geniş çözüm kümesi (−132,∞)(-\frac{13}{2}, \infty) aralığıdır.
Verilen ilk eşitsizliğin yön değiştirerek x<3x < 3 biçiminde çözülmesi, katsayının negatif (a−b<0a - b < 0) olduğunu doğrular. Buradan elde edilen a=85ba = \frac{8}{5}b bağıntısı a<ba < b koşuluna yerleştirildiğinde b<0b < 0 bulunur. İkinci eşitsizlikte aa yerine 85b\frac{8}{5}b konulup sadeleştirildiğinde 2bx+13b<02bx + 13b < 0 eşitsizliğine varılır. Burada her iki taraf negatif olan bb sayısına bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirerek 2x+13>02x + 13 > 0 halini alır ve doğru çözüm kümesi olan sınırları hariç tutan başlangıcı −132-\frac{13}{2} olan sonsuza giden açık aralık elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ilk eşitsizlikte xx terimini içeren kısmı yalnız bırakalım.
(a−b)x>5b−2a(a - b)x > 5b - 2a eşitsizliği elde edilir.
��özüm kümesinin sınır değerini belirlemek için değişkeni yalnız bırakmak gerekir.
2
İlk eşitsizliğin en geniş çözüm kümesinin (−∞,3)(-\infty, 3) olduğu bilgisini kullanarak baş katsayı olan a−ba - b ifadesinin işaretini yorumlayalım.
Çözüm kümesi x<3x < 3 formunda olduğundan, eşitsizlik işareti yön değiştirmiştir. Dolayısıyla a−b<0a - b < 0 olmalıdır. Buradan a<ba < b elde edilir.
Negatif bir sayıya bölme işlemi yapıldığında eşitsizlik işaretinin yön değiştireceği kuralını uygulamak gerekir.
3
Eşitsizliğin her iki tarafını a−ba - b ifadesine bölerek sınır değerini elde edelim ve verilen sınır değeri olan 3 ile eşitleyelim.
x<5b−2aa−bx < \frac{5b - 2a}{a - b} olduğundan 5b−2aa−b=3  ⟹  5b−2a=3a−3b  ⟹  8b=5a  ⟹  a=85b\frac{5b - 2a}{a - b} = 3 \implies 5b - 2a = 3a - 3b \implies 8b = 5a \implies a = \frac{8}{5}b bağıntısı bulunur.
Çözüm sınır değerini eşitleyerek parametreler arasındaki cebirsel ilişkiyi kurmak gerekir.
4
a<ba < b eşitsizliğinde aa yerine 85b\frac{8}{5}b yazarak parametrelerin işaretlerini belirleyelim.
85b<b\frac{8}{5}b < b ifadesinin doğru olabilmesi için b<0b < 0 olmalıdır. Dolayısıyla aa sayısı da negatiftir (a<0a < 0).
Cebirsel ifadelerin işaretini belirlemek, sonraki adımlarda yön değiştirme kuralının doğru uygulanması için zorunludur.
5
İkinci eşitsizlik olan (2b−a)x+a+b<0(2b - a)x + a + b < 0 ifadesinde aa yerine 85b\frac{8}{5}b yazarak ifadeyi düzenleyelim.
(2b−85b)x+85b+b<0  ⟹  25bx+135b<0\left(2b - \frac{8}{5}b\right)x + \frac{8}{5}b + b < 0 \implies \frac{2}{5}bx + \frac{13}{5}b < 0 elde edilir. Her iki tarafı 5 ile çarparsak 2bx+13b<02bx + 13b < 0 olur.
İkinci eşitsizliği tek bir parametreye indirgeyerek çözülebilir bir forma getirmek gerekir.
6
2bx+13b<02bx + 13b < 0 eşitsizliğinde her iki tarafı bb sayısına bölelim.
b<0b < 0 olduğundan her iki tarafı bb'ye böldüğümüzde eşitsizlik yön değiştirir: 2x+13>0  ⟹  2x>−13  ⟹  x>−1322x + 13 > 0 \implies 2x > -13 \implies x > -\frac{13}{2} bulunur. En geniş çözüm kümesi (−132,∞)\left(-\frac{13}{2}, \infty\right) aralığıdır.
Negatif bir sayıya bölme işleminde eşitsizlik yönünün değişmesi kuralını uygulamak gerekir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif bir sayı ile çarpma veya bölme işlemlerinde eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru