Examkin

Soru

Zorluk: ZorBirinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

aa, bb ve cc sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere, xx değişkenine bağlı birinci dereceden bir bilinmeyenli

I. a⋅x−b<0a \cdot x - b < 0 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (3,∞)(3, \infty)
II. b⋅x−c>0b \cdot x - c > 0 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi (−∞,−2)(-\infty, -2)

olarak veriliyor. Buna göre; aa, bb ve cc sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1bb
  2. 2aa
  3. 3cc

Cevap

Küçükten büyüğe doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.
Doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir. Birinci eşitsizlikte çözüm kümesinin yönü ile eşitsizliğin yönü zıt olduğundan a<0a < 0 olmalıdır ve buradan b=3ab = 3a elde edilir. İkinci eşitsizlikte de benzer şekilde yön değişimi olduğundan b<0b < 0 olmalıdır ve buradan c=−2bc = -2b elde edilir. aa ve bb negatif sayılar olup b=3ab = 3a olduğundan b<ab < a ilişkisi vardır. c=−2bc = -2b ifadesinde bb negatif olduğu için cc pozitif bir sayıdır. Dolayısıyla en büyük sayı cc, en küçük sayı ise bb olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği analiz etme ve aa ile bb arasındaki ilişkiyi bulma.
a<0a < 0 ve b=3ab = 3a
a⋅x−b<0  ⟹  a⋅x<ba \cdot x - b < 0 \implies a \cdot x < b olur. Eşitsizliğin çözüm kümesi (3,∞)(3, \infty) yani x>3x > 3 olduğundan, her iki taraf aa'ya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirmiştir. Buradan a<0a < 0 ve ba=3  ⟹  b=3a\frac{b}{a} = 3 \implies b = 3a elde edilir.
2
İkinci eşitsizliği analiz etme ve bb ile cc arasındaki ilişkiyi bulma.
b<0b < 0 ve c=−2bc = -2b
b⋅x−c>0  ⟹  b⋅x>cb \cdot x - c > 0 \implies b \cdot x > c olur. Eşitsizliğin çözüm kümesi (−∞,−2)(-\infty, -2) yani x<−2x < -2 olduğundan, her iki taraf bb'ye bölünd��ğünde eşitsizlik yön değiştirmiştir. Buradan b<0b < 0 ve cb=−2  ⟹  c=−2b\frac{c}{b} = -2 \implies c = -2b elde edilir. Bu durum birinci adımdaki b<0b < 0 sonucuyla da tutarlıdır.
3
Elde edilen verileri kullanarak sayıların işaretlerini ve büyüklüklerini karşılaştırma.
b<a<cb < a < c
a<0a < 0 olduğundan ve b=3ab = 3a eşitliği bulunduğundan, negatif bir sayı 33 ile çarpıldığında daha da küçülür. Dolayısıyla b<a<0b < a < 0 olur. b<0b < 0 ve c=−2bc = -2b olduğundan, negatif bir sayının −2-2 katı pozitif olacağından c>0c > 0 bulunur. Bu durumda negatif sayılar pozitif sayıdan küçük olacağı için sıralama b<a<cb < a < c şeklinde gerçekleşir.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerde negatif bir sayı ile çarpma veya bölme yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi kuralı.

Alternatif Yöntem

Sayısal değerler verilerek de kontrol yapılabilir. a=−2a = -2 seçilirse, b=3a=−6b = 3a = -6 olur. Buradan c=−2b=12c = -2b = 12 elde edilir. Değerler yerine yazıldığında −6<−2<12-6 < -2 < 12 yani b<a<cb < a < c sıralaması doğrulanır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru