Examkin

Soru

Zorluk: ZorMerkezi Yayılım Ölçüleri

Tam sayılardan oluşan 5 elemanlı bir veri grubunun aritmetik ortalaması 66, standart sapması 22 ve açıklığı 55'tir.

Buna göre, bu veri grubu ile ilgili;

I. Medyanı ile modu birbirine eşittir.
II. En büyük elemanı en fazla 99 olabilir.
III. Elemanlarının çarpımı en az 58805880'dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    I ve II
  3. C
    I ve III
  4. D
    II ve III
  5. I, II ve IIICevap

Cevap

Her üç öncülün de yer aldığı seçenek doğrudur.
Verilen koşullara uygun olan ve tam sayılardan oluşan iki farklı veri grubu vardır: Birincisi {3,5,7,7,8}\{3, 5, 7, 7, 8\}, ikincisi ise {4,5,5,7,9}\{4, 5, 5, 7, 9\}'dur. Her iki veri grubu incelendiğinde; birinci grubun medyanı ve modu 77, ikinci grubun medyanı ve modu 55 olup birbirine eşittir (I. öncül doğru). En büyük eleman birinci grupta 88, ikinci grupta 99 olup en fazla 99 değerini alabilir (II. öncül doğru). Elemanların çarpımı birinci grupta 58805880, ikinci grupta 63006300 olup en az 58805880'dir (III. öncül doğru). Bu nedenle tüm ifadeler doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Standart sapma formülü kullanılarak verilerin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı hesaplanır.
Sapmaların kareleri toplamı 1616 olarak bulunur.
Standart sapma s=2s = 2 ise varyans s2=4s^2 = 4'tür. Veri sayısı n=5n = 5 olduğundan, sapmaların kareleri toplamı (n−1)⋅s2=4⋅4=16(n - 1) \cdot s^2 = 4 \cdot 4 = 16 olmalıdır.
2
Veri elemanlarının aritmetik ortalamadan sapmaları olan di=xi−6d_i = x_i - 6 değerleri için sistem denklemleri kurulur.
d1+d2+d3+d4+d5=0d_1 + d_2 + d_3 + d_4 + d_5 = 0, d12+d22+d32+d42+d52=16d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + d_4^2 + d_5^2 = 16 ve açıklık 55 olduğu için d5−d1=5d_5 - d_1 = 5 elde edilir.
Aritmetik ortalamadan sapmaların toplamı her zaman sıfıra eşittir. En büyük ve en küçük elemanlar arasındaki fark (açıklık) sapmaların farkına eşittir.
3
Kareleri toplamı 1616 olan, toplamları sıfır ve farkları 55 olan did_i tam sayı çözümleri araştırılır.
İki farklı sapma kümesi elde edilir: {−3,−1,1,1,2}\{-3, -1, 1, 1, 2\} ve {−2,−1,−1,1,3}\{-2, -1, -1, 1, 3\}.
0,1,4,9,160, 1, 4, 9, 16 tam kareleri kullanılarak toplamları 1616, elemanlarının farkı 55 ve toplamları 00 olan sadece bu iki grup oluşturulabilir.
4
Sapma kümelerinden yola çıkılarak olası veri grupları oluşturulur ve öncüller test edilir.
Birinci veri grubu {3,5,7,7,8}\{3, 5, 7, 7, 8\}, ikinci veri grubu {4,5,5,7,9}\{4, 5, 5, 7, 9\} olarak bulunur. Her iki grupta da medyan ile mod birbirine eşittir (7=77=7 ve 5=55=5). En büyük eleman en fazla 99 olabilir (88 veya 99). Çarpımları en az 3⋅5⋅7⋅7⋅8=58803 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 8 = 5880 olur (4⋅5⋅5⋅7⋅9=63004 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 = 6300).
Olası her iki veri grubu da üç öncülü birden sağlamaktadır.

Anahtar Kavram

Merkezi yayılım ölçüleri (açıklık ve standart sapma) ile merkezi eğilim ölçülerinin (ortalama, medyan, mod) tam sayılar üzerindeki cebirsel ilişkisi.
Bu soruyu puanla

Konular

Merkezi Yayılım Ölçüleri

Bu konudan daha fazla soru