Examkin

Veri, Sayma ve Olasılık

98 soru

Tüm türler98Çoktan seçmeli51Doğru / Yanlış4Sayısal39Sıralama3Boşluk doldurma1
Soru 1Soru →
mm ve nn sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere,
(mx2−nx)8\left(mx^2 - \frac{n}{x}\right)^8
ifadesinin açılımında x7x^7 li terimin katsayısı, x4x^4 lü terimin katsayısına eşittir.

Buna göre, mn\frac{m}{n} oranı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1.25

Cevap

İstenen oran −1.25-1.25 olarak bulunur.
Genel terim formülü yardımıyla x7x^7 ve x4x^4 terimlerinin katsayıları sırasıyla −56m5n3-56 m^5 n^3 ve 70m4n470 m^4 n^4 olarak elde edilir. Bu iki katsayının eşitliğinden −56m5n3=70m4n4-56 m^5 n^3 = 70 m^4 n^4 elde edilir ve sadeleştirildiğinde mn=−1.25\frac{m}{n} = -1.25 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Genel terim formülünü yazıp düzenleme.
Tk+1=(8k)(mx2)8−k(−nx)k=(8k)m8−k(−1)knkx16−3kT_{k+1} = \binom{8}{k} (mx^2)^{8-k} \left(-\frac{n}{x}\right)^k = \binom{8}{k} m^{8-k} (-1)^k n^k x^{16-3k}
Açılımdaki terimlerin derecelerini ve katsayılarını belirlemek amacıyla genel terim formülü kurulur.
2
İstenen terimlerin derecelerine göre kk değerlerini tespit etme.
x7x^7 terimi için 16−3k=7  ⟹  k=316-3k=7 \implies k=3 ve x4x^4 terimi için 16−3k=4  ⟹  k=416-3k=4 \implies k=4 bulunur.
Hangi terimlerin katsayılarının karşılaştırılacağını bulmak için indeksler belirlenir.
3
Katsayıları eşitleyip mn\frac{m}{n} değerini hesaplama.
−56m5n3=70m4n4  ⟹  −56m=70n  ⟹  mn=−1.25-56 m^5 n^3 = 70 m^4 n^4 \implies -56 m = 70 n \implies \frac{m}{n} = -1.25
Sıfırdan farklı mm ve nn değerleri için gerekli cebirsel sadeleştirmeler yapılarak oran elde edilir.

Anahtar Kavram

Binom açılımı genel terimi ve terimlerin katsayıları arasındaki ilişkiler.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2Soru →

A şehrinden D şehrine gitmek isteyen bir kuryenin kullanabileceği yollar ve bu şehirler arasındaki bağlantılar şu şekildedir:
- A ile B şehirleri arasında 33 farklı yol,
- B ile D şehirleri arasında 44 farklı yol,
- A ile C şehirleri arasında 22 farklı yol,
- C ile D şehirleri arasında 33 farklı yol,
- B ile C şehirleri arasında ise 22 farklı yol bulunmaktadır.

Bu kurye, A şehrinden hareket edip D şehrine giderken geçtiği hiçbir şehirden bir daha geçmemek koşuluyla kaç farklı güzergah kullanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 52

Cevap

Kurye, geçtiği bir şehirden tekrar geçmemek koşuluyla A'dan D'ye toplam 52 farklı güzergah kullanabilir.
Doğru seçenekte belirtilen 52 sayısı, A şehrinden D şehrine giderken kullanılabilecek tüm alternatif rotaların (A -> B -> D, A -> C -> D, A -> B -> C -> D ve A -> C -> B -> D) çarpma yoluyla sayılması ve bu bağımsız durumların toplama yoluyla toplanması sonucu bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Doğrudan A'dan B'ye ve oradan D'ye giden güzergah sayısını hesaplama (A→B→DA \rightarrow B \rightarrow D)
3×4=123 \times 4 = 12 farklı yol
Çarpma yoluyla sayma kuralına göre, ardışık gerçekleşen bu iki seçimin yolları çarpılır.
2
Doğrudan A'dan C'ye ve oradan D'ye giden güzergah sayısını hesaplama (A→C→DA \rightarrow C \rightarrow D)
2×3=62 \times 3 = 6 farklı yol
Yine çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanarak ardışık yollar çarpılır.
3
A'dan B'ye, oradan C'ye ve son olarak D'ye giden güzergah sayısını hesaplama (A→B→C→DA \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D)
3×2×3=183 \times 2 \times 3 = 18 farklı yol
Her bir şehir geçişi ardışık olduğundan tüm yol sayıları çarpılır.
4
A'dan C'ye, oradan B'ye ve son olarak D'ye giden güzergah sayısını hesaplama (A→C→B→DA \rightarrow C \rightarrow B \rightarrow D)
2×2×4=162 \times 2 \times 4 = 16 farklı yol
Bu rota üzerindeki tüm geçiş yolları çarpma kuralı ile hesaplanır.
5
Tüm bağımsız güzergah durumlarını toplama
12+6+18+16=5212 + 6 + 18 + 16 = 52 farklı güzergah
Bu dört farklı rota birbirine alternatif (bağımsız) durumlar olduğundan, toplama yoluyla sayma kuralı gereği sonuçlar toplanır.

Anahtar Kavram

Toplama ve çarpma yoluyla sayma kurallarının bir arada kullanımı ve koşullu durum analizi.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 3Soru →

KAYIK kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek 5 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

KAYIK kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek 5 harfli anlamlı ya da anlamsız 60 farklı kelime yazılabilir.
KAYIK kelimesinde 2 adet K, 1 adet A, 1 adet Y ve 1 adet I olmak üzere toplam 5 harf vardır. K harfleri özdeş olduğundan dizilim sayısı tekrarlı permütasyon formülü olan \frac{5!}{2!} ile hesaplanır. Buradan sonuç 60 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kelimedeki toplam harf sayısını ve tekrar eden harfleri belirleyin.
KAYIK kelimesinde toplam 5 harf vardır (K, A, Y, I, K) ve K harfi 2 kez tekrar etmektedir.
Tekrarlı permütasyon formülünü uygulamak için toplam eleman sayısı ve tekrar sayıları gereklidir.
2
Tekrarlı permütasyon formülünü kullanarak farklı dizilim sayısını hesaplayın.
5!2!is\cleminikurun.\frac{5!}{2!} işlemini kurun.
Toplam 5 elemanın dizilişi 5! kadar olup, özdeş 2 adet K harfinin kendi arasındaki dizilişleri farklı bir durum oluşturmadığı için 2! değerine bölünmelidir.
3
Faktöriyel işlemlerini sadeleştirerek sonucu bulunuz.
\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60
Çarpma işlemini tamamlayarak kesin sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Özdeş elemanların bulunduğu dizilimlerde, tekrarlayan elemanların dizilim sayısına bölme yapılarak tekrarlı permütasyon hesaplanır.
Soru 4Soru →

Aşağıdaki durumları, gerçekleşebilecekleri farklı dizilim sayılarına göre küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Öğeleri doğru sıraya koymak için sürükleyin

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap

Dizilim sayılarının küçükten büyüğe sıralaması III. Durum < II. Durum < I. Durum şeklindedir.
Her bir durumun farklı dizilim sayıları sırasıyla III. Durum için 8, II. Durum için 10 ve I. Durum için 60 olarak hesaplanır. Bu değerler küçükten büyüğe doğru 8<10<608 < 10 < 60 şeklinde sıralandığından doğru sıralama III. Durum, II. Durum, I. Durum şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
MAKAS kelimesinin harfleriyle yazılabilecek kelime sayısını hesaplama
60
5 harfli MAKAS kelimesinde A harfi 2 kez tekrar ettiğinden tekrarlı permütasyon formülü 5!2!=60\frac{5!}{2!} = 60 olarak uygulanır.
2
(0,0) noktasından (2,3) noktasına giden en kısa yolların sayısını hesaplama
10
2 sağa ve 3 yukarı olmak üzere toplam 5 adım tekrarlı permütasyonla 5!2!⋅3!=10\frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10 farklı şekilde sıralanabilir.
3
Mavi, yeşil ve kırmızı bilyelerin verilen koşula göre dizilim sayısını hesaplama
8
Yeşil ve kırmızı tek bir eleman olarak düşünülürse, 3 özdeş mavi ile birlikte 4 eleman olur. Bunlar 4!3!=4\frac{4!}{3!} = 4 şekilde dizilir. Yeşil ve kırmızının kendi arasındaki yer değişimi (2!) ile çarpıldığında 4⋅2=84 \cdot 2 = 8 dizilim elde edilir.
4
Hesaplanan değerleri karşılaştırıp küçükten büyüğe sıralama
III < II < I
8<10<608 < 10 < 60 olduğundan doğru sıralama III, II, I şeklindedir.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon problemlerinde özdeş elemanların tekrarlanma sayılarına bölünmesi ve özel koşulların (yan yana olma, kareli zemin üzerinde yol bulma vb.) uygulanması.
Soru 5Soru →

Bir e-ticaret sitesi, üyelerine tanımladığı 99 farklı kupon arasından 44'ünü seçerek bir kampanya paketi oluşturma hakkı vermiştir. Bu kuponların 33'ü kargo bedava kuponu, diğerleri ise alışveriş indirim kuponudur.

Buna göre, içinde en az bir tane kargo bedava kuponu bulunan 44 kuponluk bir kampanya paketi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 111111

Cevap

İçinde en az bir kargo bedava kuponu bulunan 44 kuponluk paket 111111 farklı şekilde oluşturulabilir.
İçinde en az bir kargo bedava kuponu bulunan 44'lü paketlerin sayısını bulmak için tüm olası 44'lü kupon seçimlerinin sayısından, içinde hiç kargo bedava kuponu bulunmayan durumların sayısını çıkarırız. Tüm seçimlerin sayısı (94)=126\binom{9}{4} = 126, sadece indirim kuponlarından yapılan seçimlerin sayısı ise (64)=15\binom{6}{4} = 15 olduğundan, doğru cevap 126−15=111126 - 15 = 111 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Kupon gruplarının belirlenmesi
Toplam 99 kupondan 33'ü kargo bedava kuponu ise geri kalan 9−3=69 - 3 = 6 kupon alışveriş indirim kuponudur.
Kısıtlamaya uygun seçim gruplarını netleştirmek için kupon türlerini ayrıştırıyoruz.
2
Tüm olası 44'lü seçimlerin hesaplanması
(94)=9×8×7×64×3×2×1=126\binom{9}{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126 farklı seçim yapılabilir.
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarma (tümleyen) yöntemini uygulamak amacıyla kısıtlamasız seçim sayısını buluyoruz.
3
İstenmeyen durumların (hiç kargo bedava kuponu bulunmayan durumlar) hesaplanması
(64)=(62)=6×52×1=15\binom{6}{4} = \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 farklı seçim yapılabilir.
Seçilen 44 kuponun da sadece indirim kuponlarından (66 kupon arasından) seçildiği durumları belirlemek için.
4
İstenen durum sayısının bulunması
126−15=111126 - 15 = 111 farklı paket oluşturulabilir.
Tüm olası durumların sayısından istenmeyen durumların sayısını çıkararak en az bir kargo bedava kuponu içeren durumları buluruz.

Anahtar Kavram

Kombinasyonda Tümleyen (Ters Durum) Yöntemi ile Seçim

Alternatif Yöntem

Doğrudan gruplama yöntemiyle de çözülebilir:
- 11 kargo bedava ve 33 indirim kuponu: (31)×(63)=3×20=60\binom{3}{1} \times \binom{6}{3} = 3 \times 20 = 60
- 22 kargo bedava ve 22 indirim kuponu: (32)×(62)=3×15=45\binom{3}{2} \times \binom{6}{2} = 3 \times 15 = 45
- 33 kargo bedava ve 11 indirim kuponu: (33)×(61)=1×6=6\binom{3}{3} \times \binom{6}{1} = 1 \times 6 = 6
Toplam: 60+45+6=11160 + 45 + 6 = 111 farklı durum elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 6Soru →

Bir seyahat firmasına ait otobüsteki koltuklar 11'den 3030'a kadar ardışık doğal sayılarla numaralandırılmıştır. Sefer öncesinde bu koltukların bir kısmının biletleri satılmış (dolu), kalan koltuklar ise boş bırakılmıştır.

Otobüsteki koltukların doluluk durumuyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
- Tek numaralı koltuklar arasından rastgele seçilen bir koltuğun dolu olma olasılığı 35\frac{3}{5}'tir.
- Boş koltuklar arasından rastgele seçilen bir koltuğun numarasının çift sayı olma olasılığı 23\frac{2}{3}'tür.

Buna göre, bu otobüsteki bilet satılan (dolu) koltuk sayısı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Otobüsteki bilet satılan (dolu) koltuk sayısı 12'dir.
Tek numaralı 15 koltuktan dolu olanların sayısı 9, boş olanların sayısı 6'dır. Boş koltuklar arasından seçilen bir koltuğun çift numaralı olma olasılığı 2/3 ise, boş tek koltukların tüm boş koltuklara oranı 1/3 olur. Dolayısıyla toplam boş koltuk sayısı 6 * 3 = 18'dir. Dolu koltuk sayısı ise 30 - 18 = 12 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Koltuk numaralarının teklik-çiftlik durumlarına göre adetlerini belirleme.
15 tek ve 15 çift numaralı koltuk vardır.
Olasılık hesaplamalarında kullanılacak alt küme eleman sayılarını bulmak için.
2
Tek numaralı koltukların dolu ve boş sayılarını hesaplama.
Dolu tek koltuk sayısı 9, boş tek koltuk sayısı 6'dır.
Tek numaralı koltuklardan seçilen birinin dolu olma olasılığı 3/5 olarak verildiği için.
3
Boş koltukların olasılık oranını kullanarak çift numaralı boş koltuk sayısını bulma.
Çift numaralı boş koltuk sayısı 12'dir.
Boş koltuklar arasından rastgele seçilen koltuğun çift sayı olma olasılığı 2/3 olarak verildiği için.
4
Toplam dolu koltuk sayısını hesaplama.
Toplam dolu koltuk sayısı 12'dir.
Toplam koltuk sayısından (30) tüm boş koltukların (6 + 12 = 18) çıkarılmasıyla kalan dolu koltuk sayısını elde etmek için.

Anahtar Kavram

Basit Olayların Olasılığı
Soru 7Soru →

Bir spor mağazasında birbirinden farklı 55 tenis raketi ve 44 tenis topu satılmaktadır. Bu mağazadan bir tenis raketi ve bir tenis topu satın almak isteyen bir sporcu, bu seçimi kaç farklı şekilde yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Sporcu bu seçimi 20 farklı şekilde yapabilir.
Sporcu bir raket VE bir top seçecektir. 55 farklı raketin her biri için 44 farklı top seçeneği bulunduğundan, toplam seçim sayısı 5×4=205 \times 4 = 20 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Tenis raketi seçimi için olası durum sayısını belirleme
55 farklı durum
Mağazada birbirinden farklı 55 tenis raketi bulunmaktadır.
2
Tenis topu seçimi için olası durum sayısını belirleme
44 farklı durum
Mağazada birbirinden farklı 44 tenis topu bulunmaktadır.
3
Çarpma yoluyla sayma prensibini uygulayarak toplam seçim sayısını hesaplama
5×4=205 \times 4 = 20 farklı durum
Her iki seçim de birlikte (ve bağlacıyla) yapılacağı için durum sayıları çarpılır.

Anahtar Kavram

Çarpma yoluyla sayma prensibine göre, biri aa farklı şekilde, diğeri bb farklı şekilde gerçekleşen iki ardışık olay birlikte a×ba \times b farklı şekilde gerçekleşir.
Tahmini Süre:45s
Soru 8Soru →

Bir şirketin staj programı kapsamında işe alınan birbirinden farklı 77 stajyer; AA, BB ve CC departmanlarına yerleştirilecektir. Yerleştirme işlemiyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Her departmana en az bir stajyer yerleştirilecektir.
* AA departmanına yerleştirilen stajyer sayısı, BB departmanına yerleştirilen stajyer sayısından fazla olacaktır.

Buna göre, bu 77 stajyer departmanlara kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 707707

Cevap

Verilen koşullara uyan toplam stajyer yerleştirme sayısı 707707 olarak bulunur.
Doğru seçenekte belirtilen 707707 değeri, verilen tüm koşulları sağlayan farklı yerleştirme durumlarının kombinasyon hesaplamalarının toplamıdır. Her departmana en az bir stajyer yerleştirilmesi ve AA departmanındaki stajyer sayısının BB'dekinden fazla olması koşuluyla stajyerler departmanlara (2,1,4)(2, 1, 4), (3,1,3)(3, 1, 3), (4,1,2)(4, 1, 2), (5,1,1)(5, 1, 1), (3,2,2)(3, 2, 2) ve (4,2,1)(4, 2, 1) şeklinde gruplandırılabilir. Bu grupların seçim sayıları sırasıyla 105105, 140140, 105105, 4242, 210210 ve 105105 olup, toplamları 707707'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Stajyerlerin departmanlara göre dağılım sayılarını belirlemek için a+b+c=7a + b + c = 7 denklemini sağlayan pozitif tam sayı üçl��lerini (a,b,ca, b, c) bulmak.
Burada aa, bb ve cc sırasıyla AA, BB ve CC departmanlarına yerleştirilecek stajyer sayılarını göstermektedir.
Sorudaki departmanlara yerleştirilecek kişi sayılarını gruplandırmak için bu denklem kurulmalıdır.
2
Her departmana en az bir stajyer yerleştirilmesi (a,b,c≥1a, b, c \ge 1) ve AA'daki stajyer sayısının BB'dekinden fazla olması (a>ba > b) koşullarına uyan tüm durumları listelemek.
Koşulları sağlayan (a,b,ca, b, c) dağılımları şunlard��r: (2,1,4)(2, 1, 4), (3,1,3)(3, 1, 3), (4,1,2)(4, 1, 2), (5,1,1)(5, 1, 1), (3,2,2)(3, 2, 2) ve (4,2,1)(4, 2, 1).
Farklı durumların kombinasyonlarını ayrı ayrı hesaplayabilmek için geçerli say�� gruplarını belirlememiz gerekir.
3
Belirlenen her durum için stajyerlerin departmanlara seçim (kombinasyon) sayılarını hesaplamak.
Her bir durumun hesaplaması şu şekildedir:
- (2,1,4)(2, 1, 4) için: (72)×(51)×(44)=21×5×1=105\binom{7}{2} \times \binom{5}{1} \times \binom{4}{4} = 21 \times 5 \times 1 = 105
- (3,1,3)(3, 1, 3) için: (73)×(41)×(33)=35×4×1=140\binom{7}{3} \times \binom{4}{1} \times \binom{3}{3} = 35 \times 4 \times 1 = 140
- (4,1,2)(4, 1, 2) için: (74)×(31)×(22)=35×3×1=105\binom{7}{4} \times \binom{3}{1} \times \binom{2}{2} = 35 \times 3 \times 1 = 105
- (5,1,1)(5, 1, 1) için: (75)×(21)×(11)=21×2×1=42\binom{7}{5} \times \binom{2}{1} \times \binom{1}{1} = 21 \times 2 \times 1 = 42
- (3,2,2)(3, 2, 2) için: (73)×(42)×(22)=35×6×1=210\binom{7}{3} \times \binom{4}{2} \times \binom{2}{2} = 35 \times 6 \times 1 = 210
- (4,2,1)(4, 2, 1) için: (74)×(32)×(11)=35×3×1=105\binom{7}{4} \times \binom{3}{2} \times \binom{1}{1} = 35 \times 3 \times 1 = 105
Kişler farklı olduğundan, her bir departmana hangi kişilerin yerleştirileceğini kombinasyon formülü (nr)=n!r!(n−r)!\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} ile seçmeliyiz.
4
Elde edilen tüm durumların kombinasyon değerlerini toplamak.
105+140+105+42+210+105=707105 + 140 + 105 + 42 + 210 + 105 = 707 farklı yerleştirme şekli bulunur.
Durumlar birbirinden bağımsız (ayrık) olduğu için toplama yoluyla sayma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Grup Oluşturma ve Kısıtlı Dağılım)
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 9Soru →

Bir düzlemde bulunan bir çember üzerinde 55 farklı nokta, bu çemberin dışındaki bir dd doğrusu üzerinde ise 44 farklı nokta işaretlenmiştir. Buna göre, köşeleri bu 99 noktadan seçilen kaç farklı üçgen çizilebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8080

Cevap

Köşeleri bu noktalardan seçilen 80 farklı ü��gen çizilebilir.
Toplam 9 noktadan herhangi 3'ünün seçimiyle elde edilen 84 durumdan, aynı d doğrusu üzerinde bulunan 4 noktadan seçilen ve üçgen belirtmeyen 4 durum çıkarıldığında 80 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam nokta sayısı ile doğrusal nokta sayısını belirleme.
Çember üzerinde 5 nokta, dd doğrusu üzerinde ise 4 doğrusal nokta olmak üzere toplam 9 nokta vardır.
Herhangi üçü doğrusal olmayan noktalardan üçgen oluşturabilmek için toplam ve doğrusal nokta sınırlarını netleştirmek gerekir.
2
Sınırlama olmaksızın 9 noktadan seçilebilecek tüm 3'lü grupların sayısını kombinasyon ile hesaplama.
(93)=9×8×73×2×1=84\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 farklı seçim.
Oluşabilecek maksimum 3'lü nokta gruplarının sayısını bulmak için tüm noktaların kombinasyonu alınır.
3
Aynı doğru üzerinde bulunan ve üçgen oluşturmayan doğrusal noktaların 3'lü seçimlerini hesaplayıp tüm durumlardan çıkarma.
Doğru üzerindeki 4 noktadan seçilen 3 nokta doğrusal olduğundan üçgen oluşturmaz. Bu durumun sayısı (43)=4\binom{4}{3} = 4 adettir. Buradan çizilebilecek üçgen sayısı: 84−4=8084 - 4 = 80 olarak bulunur.
Doğrusal noktalar üçgen oluşturamayacağından, bu geçersiz durumların toplam durum sayısından çıkarılması gerekir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) ve Geometrik Şekil Oluşturma
Soru 10Soru →

Bir şirkette çalışan Ahmet, hafta içi günlerinin birinde düzenlenen 33 farklı eğitim saatinden birine veya hafta sonu günlerinin birinde düzenlenen 22 farklı eğitim saatinden birine katılacaktır. Buna göre, Ahmet katılabileceği eğitimi kaç farklı gün ve saat seçeneği arasından seçebilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 19

Cevap

Ahmet, katılabileceği eğitimi 19 farklı seçenek aras��ndan seçebilir.
Hafta içi günlerinde katılabileceği toplam seçenek sayısı 5×3=155 \times 3 = 15 ve hafta sonu günlerinde katılabileceği seçenek sayısı 2×2=42 \times 2 = 4 olarak hesaplanır. Ahmet bu iki gruptan birini tercih edeceği için durumlar toplama yoluyla birleştirilerek 15+4=1915 + 4 = 19 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Hafta içi günleri için eğitim seçeneği sayısını hesaplayın.
15
Hafta içi 5 gün vardır ve her gün 3 farklı saat dilimi sunulmaktadır. Bu iki seçim birlikte yapılacağı için çarpma kuralı uygulanır: 5×3=155 \times 3 = 15.
2
Hafta sonu günleri için eğitim seçeneği sayısını hesaplayın.
4
Hafta sonu 2 gün vardır ve her gün 2 farklı saat dilimi sunulmaktadır. Çarpma kuralı uygulanır: 2×2=42 \times 2 = 4.
3
Toplam eğitim seçeneği sayısını bulun.
19
Ahmet, hafta içi veya hafta sonu eğitimlerinden yalnızca birini seçeceği için elde edilen durumlar toplanır: 15+4=1915 + 4 = 19.

Anahtar Kavram

Toplama ve çarpma yoluyla sayma ilkelerinin günlük hayattaki seçim problemlerine uygulanması.
Soru 11Soru →

Bir restoranda yemek siparişi vermek isteyen Aslı; menüdeki 33 farklı çorba, 44 farklı ana yemek ve 22 farklı tatlı arasından seçim yapacaktır. Aslı, bir çorba ve bir ana yemekten oluşan bir menü veya sadece bir tatlı seçecektir. Buna göre, Aslı bu seçimi kaç farklı şekilde yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 14

Cevap

Aslı bu seçimi 1414 farklı şekilde yapabilir.
Çorba ve ana yemek seçimi birbirine bağlı olaylar olduğundan çarpma yoluyla sayma kuralı kullanılarak 3×4=123 \times 4 = 12 farklı seçenek elde edilir. Bu menü seçeneği ile tek başına tatlı seçeneği ise birbirine alternatif (ayrık) durumlar olduğundan toplama yoluyla sayma kuralı kullanılarak toplam seçenek sayısı 12+2=1412 + 2 = 14 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Çorba ve ana yemekten oluşan menü seçimi için olasılıkları hesaplama.
3×4=123 \times 4 = 12
Çorba ve ana yemek birlikte seçildiğinden çarpma kuralı uygulanır.
2
Sadece tatlı seçimi için olasılıkları hesaplama.
22
Yalnızca bir tatlı seçileceğinden tatlı sayısı kadar seçenek vardır.
3
İki farklı alternatif durumu birleştirme.
12+2=1412 + 2 = 14
Bu iki durum birbirine alternatif (ayrık) olduğu için toplama kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 12Soru →

Bir anaokulu öğretmeni, renkleri dışında özdeş olan 3 sarı ve 2 kırmızı balonu yan yana olacak şekilde bir ipe dizecektir. Buna göre, bu balonlar ip üzerinde kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Balonlar ip üzerinde 10 farklı şekilde sıralanabilir.
Toplam 5 nesnenin 3 tanesi bir renkten, 2 tanesi diğer renkten özdeş olduğu için tekrarlı permütasyon formülü kullanılır. 5!3!⋅2!=1206⋅2=10\frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10 farklı sıralama elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam balon sayısını ve özdeş olan balonların sayılarını belirleyin.
Toplam balon sayısı 55, sarı balon sayısı 33, kırmızı balon sayısı 22'dir.
Tekrarlı permütasyon formülünü uygulamak için toplam eleman sayısı ile tekrar eden elemanların sayılarına ihtiyaç duyulur.
2
Tekrarlı permütasyon formülünü uygulayın.
5!3!⋅2!\frac{5!}{3! \cdot 2!}
Özdeş elemanların kendi arasındaki yer değiştirmeleri farklı bir dizilim oluşturmadığı için toplam permütasyon sayısı tekrar edenlerin faktöriyeline bölünür.
3
Faktöriyel işlemlerini sadeleştirerek sonucu hesaplayın.
1010
Sadeleştirme adımları tamamlanarak doğru sıralama adedi elde edilir.

Anahtar Kavram

Özdeş nesnelerin yan yana sıralanmasında tekrarlı permütasyon formülü uygulanır.
Soru 13Soru →

Bir yazılım şirketinde çalışan Burak, pazartesi gününden cuma gününe kadar olan 5 iş gününün her birinde şirket bünyesindeki A, B ve C projelerinden yalnız birine vakit ayıracaktır. Burak'ın bu 5 günlük çalışma planıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Üst üste gelen herhangi iki günde aynı projeye vakit ayırmayacaktır.
* Pazartesi ve cuma günlerinde aynı projeye vakit ayıracaktır.

Buna göre Burak, bu 5 günlük çalışma planını kaç farklı şekilde oluşturabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 18

Cevap

Burak, bu 5 günlük çalışma planını 18 farklı şekilde oluşturabilir.
Çarşamba gününün pazartesi/cuma günkü proje ile aynı olup olmama durumlarına göre iki ayrı duruma ayrılması gerekir. Çarşamba günü pazartesi/cuma ile aynı ise aradaki günler için 2'şer seçenek kalır ve 4 durum oluşur. Çarşamba günü farklı ise Salı için 2 seçenek varken Çarşamba ve Perşembe tek seçeneğe zorlanır ve 2 durum oluşur. Bu iki ayrık durum toplanarak (4 + 2 = 6) ve başlangıçtaki 3 farklı proje seçimi ile çarpılarak doğru cevap olan 18 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pazartesi günü seçilecek projeyi belirleme
3 farklı seçenek vardır. Çözümü basitleştirmek adına pazartesi günü A projesinin seçildi��ini varsayalım. En son elde edeceğimiz sonucu 3 ile çarpacağız.
Başlangıç gününde herhangi bir kısıtlama yoktur, her proje eşit simetriye sahiptir.
2
Cuma gününün projesini sabitleme
Cuma günü de pazartesi ile aynı olduğundan A projesi olarak belirlenir. Günlerin şeması P(A) - Sa - Ç - Pe - Cu(A) haline gelir.
Soruda pazartesi ve cuma günlerinde aynı projeye vakit ayrılacağı belirtilmiştir.
3
Çarşamba gününün A projesi olması durumunu inceleme
Çarşamba günü A ise; Salı günü B veya C (2 seçenek), Perşembe günü B veya C (2 seçenek) olabilir. Toplamda 2 * 1 * 2 = 4 farklı durum elde edilir.
Ardışık günlerde aynı projenin seçilmemesi kuralı gereği Salı günü A'dan, Perşembe günü de hem Çarşamba'dan (A) hem de Cuma'dan (A) farklı olmalıdır.
4
Çarşamba gününün A projesi olmaması durumunu inceleme
Çarşamba günü A değilse; Salı günü B veya C (2 seçenek) olur. Çarşamba günü hem Salı'dan hem de A'dan farklı olmak zorunda kalıp tek seçeneğe iner. Perşembe günü de hem Çarşamba'dan hem de Cuma'dan (A) farklı olmak zorunda kalıp tek seçeneğe iner. Toplamda 2 * 1 * 1 = 2 farklı durum elde edilir.
Üç proje arasından iki kısıtlı projenin çıkarılması kalan günlerin seçimlerini tek seçeneğe indirger.
5
Toplam durum sayısını hesaplama
Pazartesi günü A seçildiğinde 4 + 2 = 6 durum vardır. Pazartesi günü için 3 farklı proje seçilebileceğinden, toplam durum sayısı 3 * 6 = 18 olarak bulunur.
Toplama ve çarpma yoluyla sayma ilkeleri bir arada uygulanarak tüm olası planların sayısı elde edilir.

Anahtar Kavram

Koşullu ardışık sıralamalarda toplama ve çarpma yoluyla sayma kurallarının durum analizi (vaka analizi) yapılarak uygulanması.
Soru 14Soru →

Bir bilişim uzmanı, sistem güvenliğini test etmek amacıyla 66 haneli bir şifreleme algoritması tasarlayacaktır. Bu şifrenin oluşturulma kuralları aşağıda verilmiştir:

* Şifrenin hanelerinde {A,B,C}\{A, B, C\} harfleri ve {1,2,3,4}\{1, 2, 3, 4\} rakamları kullanılacaktır.
* Şifrenin ilk hanesi ve son hanesi kesinlikle birer harf olmalıdır.
* Şifrede yan yana bulunan herhangi iki haneden en az biri rakam olmalıdır (yani iki harf yan yana gelmeyecektir).
* Şifrede kullanılan harfler birbirinden farklı olmalı, rakamlar ise istenildiği kadar tekrarlanabilmelidir.

Buna göre, bu kurallara uygun kaç farklı şifre oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2304

Cevap

Bu kurallara uygun olarak oluşturulabilecek toplam şifre sayısı 2304 adettir.
Şifrenin ilk ve son hanelerinin harf olması ve iki harfin yan yana gelememesi kuralları uygulandığında 3 farklı geçerli şablon oluşur. Bu şablonlar için harf ve rakam seçimleri çarpım prensibiyle hesaplanıp toplandığında doğru yanıt olan 2304 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Şifrenin ilk ve son hanelerinin harf olma zorunluluğundan hareketle genel şablonu oluşturma.
İlk hane (1. hane) ve son hane (6. hane) Harf (H) olmak zorundadır. Yan yana iki harf gelemeyeceği için 2. ve 5. haneler kesinlikle Rakam (R) olmalıdır. Şablon: H - R - X - Y - R - H halini alır.
Soruda verilen uç nokta kısıtlamalarını ve komşuluk kurallarını uygulayarak başlangıç ��ablonunu daraltmak.
2
Ortadaki X (3. hane) ve Y (4. hane) hanelerinin alabileceği değerlere göre olası tüm durumları belirleme.
X ve Y yan yana iki harf olamayacağından (H, H olamaz) şu üç durum mevcuttur: 1) X=H, Y=R (H-R-H-R-R-H), 2) X=R, Y=H (H-R-R-H-R-H), 3) X=R, Y=R (H-R-R-R-R-H).
Koşulları sağlayan tüm ayrık durumları belirleyip toplama yoluyla saymaya hazırlık yapmak.
3
Belirlenen üç durum için harf ve rakam seçimlerini çarpma yoluyla hesaplama.
1. Durum için: 3 harfin sıralanışı 3! = 6, rakamlar için 4^3 = 64, toplam 6 * 64 = 384 şifre. 2. Durum için: 3 harfin sıralanışı 3! = 6, rakamlar için 4^3 = 64, toplam 6 * 64 = 384 şifre. 3. Durum için: 2 harfin sıralanışı 3 * 2 = 6, rakamlar için 4^4 = 256, toplam 6 * 256 = 1536 şifre.
Her bir bağımsız şablon altındaki sıralama olasılıklarını ayrı ayrı bulmak.
4
Elde edilen tüm durumları toplama prensibine göre toplama.
384 + 384 + 1536 = 2304 farklı şifre elde edilir.
Farklı şablonlar ayrık olaylar olduğundan, toplam sonucu bulmak için bunları toplamak gerekir.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma prensiplerinin koşullu durumlara uygulanması.
Soru 15Soru →

Aşağıdaki tabloda, bir ildeki beş farklı ölçüm istasyonunda aynı gün ölçülen hava sıcaklığı değerleri verilmiştir:

İstasyonSıcaklık (∘C^\circ\text{C})
1. İstasyon1212
2. İstasyon2424
3. İstasyon1616
4. İstasyon77
5. İstasyon2626

Buna göre, bu istasyonlarda ölçülen sıcaklık değerlerinden oluşan veri grubunun açıklı��ı kaç ∘C^\circ\text{C}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1919

Cevap

Veri grubunun açıklığı 1919 olarak bulunur.
Veri grubunun açıklığı, o gruptaki en büyük değer ile en küçük değerin farkına eşittir. Verilen gruptaki sıcaklık değerleri sıralandığında en büyük değer 2626, en küçük değer 77 olur. Bu iki değerin farkı olan 26−7=1926 - 7 = 19 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Veri grubundaki değerleri belirleme ve küçükten büyüğe sıralama.
Sıcaklık değerleri 7,12,16,24,267, 12, 16, 24, 26 şeklinde sıralanır.
Açıklığı bulmak için veri grubundaki en büyük ve en küçük değerleri kolayca tespit edebilmek amacıyla veriler sıralanır.
2
En büyük ve en küçük değerleri tespit etme.
En büyük değer 2626, en küçük değer 77 olarak belirlenir.
Açıklık, veri grubundaki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır.
3
Açıklığı hesaplama.
26−7=1926 - 7 = 19 elde edilir.
En büyük değerden en küçük değer çıkarılarak açıklık bulunur.

Anahtar Kavram

Bir veri grubunun açıklığı (aralığı), gruptaki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 16Soru →

Bir veri grubundaki tüm veri değerleri birbirine eşit ise bu veri grubunun standart sapması sıfırdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Bir veri grubundaki tüm elemanlar birbirine eşit olduğunda aritmetik ortalama da bu değerlere eşit olur ve verilerin ortalamadan sapmaları sıfır olduğundan standart sapma sıfırdır. Dolayısıyla bu ifade doğrudur.
Verilerin tamamı aynı sayıdan oluştuğunda aritmetik ortalamadan hiçbir sapma gerçekleşmez. Değişkenlik olmadığı için merkezi yayılım ölçüsü olan standart sapma sıfıra eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik ortalamanın belirlenmesi
Tüm veriler xx ise aritmetik ortalama da xˉ=x\bar{x} = x olur.
Sapmaları bulabilmek için önce aritmetik ortalamayı belirlememiz gerekir.
2
Her bir verinin aritmetik ortalamadan farkının (sapmasının) hesaplanması
Her bir veri için fark x−xˉ=x−x=0x - \bar{x} = x - x = 0 olur.
Standart sapma formülündeki sapma değerlerini bulmak için veriler ile ortalama arasındaki farkı hesaplarız.
3
Sapmaların karelerinin toplanması ve standart sapmanın hesaplanması
Sapmaların kareleri toplamı 00 olacağından, standart sapma s=0n−1=0s = \sqrt{\frac{0}{n-1}} = 0 bulunur.
Farkların kareleri toplamını veri sayısının bir eksiğine bölüp karekökünü alarak standart sapmayı hesaplarız.

Anahtar Kavram

Bir veri grubundaki tüm elemanlar eşit olduğunda standart sapma sıfır olur.
Soru 17Soru →

Bir sanatçı cuma, cumartesi ve pazar günlerinden oluşan 3 günlük bir sergi düzenleyecektir. Bu sergide her g��n yalnızca bir tablo sergilenecektir. Sanatçının elinde birbirinden farklı 4 manzara, 3 portre ve 2 soyut tablo bulunmaktadır.

Sergi planı aşağıdaki koşullara göre yapılacaktır:
- Sergide en az bir portre tablosu yer alacaktır.
- Ardışık günlerde portre tablosu sergilenmeyecektir.
- Her tablo en fazla bir kez sergilenecektir.

Buna göre, bu sergi planı kaç farklı şekilde yapılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 306

Cevap

Sergi planı 306 farklı şekilde yapılabilir.
Koşullara göre sergide en az bir portre olmalı ve ardışık günlerde portre bulunmamalıdır. Bu kısıtlar altında sergide ya 1 portre (270 durum) ya da Cuma-Pazar günlerinde olmak üzere 2 portre (36 durum) sergilenebilir. Bu iki bağımsız durumun toplamı 306 plan oluşturur.

Adım Adım Çözüm

1
Kategorilerine göre tablo sayılarını ve sergi günlerini belirleyelim.
Portre tabloları: 3 adet, portre olmayan tablolar (manzara + soyut): 4 + 2 = 6 adet. Sergi süresi: 3 gün (Cuma, Cumartesi, Pazar). Her gün 1 farklı tablo sergilenecektir.
Soruda verilen kısıtları uygulayabilmek için nesne gruplarını ve yerleştirilecek gün sayısını belirlemeliyiz.
2
Ardışık günlerde portre sergilenmeme koşuluna göre olası portre sayılarını analiz edelim.
3 gün süren sergide ardışık günlerde portre olamayacağından, sergilenebilecek maksimum portre sayısı 2'dir. En az bir portre bulunması gerektiği için sergide ya tam 1 ya da tam 2 portre tablosu bulunabilir.
Kullanılabilecek portre sayılarını belirleyerek problemi iki ayrı duruma indirgeriz.
3
Sergide tam olarak 1 portre tablosu sergilenen durumları hesaplayalım.
Portre tablosu Cuma, Cumartesi veya Pazar gününden birinde sergilenebilir. Her bir gün için durumlar şu şekildedir:
- Cuma günü portre ise: 3 (portre) * 6 (portre dışı) * 5 (portre dışı) = 90 durum.
- Cumartesi günü portre ise: 6 * 3 * 5 = 90 durum.
- Pazar günü portre ise: 6 * 5 * 3 = 90 durum.
Toplam 1 portre sergilenen durum sayısı: 90 + 90 + 90 = 270'tir.
Çarpma ve toplama yoluyla sayma ilkelerini kullanarak 1 portre içeren tüm sıralamaları buluruz.
4
Sergide tam olarak 2 portre tablosu sergilenen durumları hesaplayalım.
Ardışık günlerde portre olamayacağı için bu iki portre tablosu sadece Cuma ve Pazar günlerinde sergilenebilir (Portre - Portre Dışı - Portre). Cuma günü için 3 portre seçeneği, Pazar günü için kalan 2 portre seçeneği ve Cumartesi günü için 6 portre dışı seçenek vardır: 3 * 6 * 2 = 36 durum.
Ardışık olmama kuralına uyan tek dizilimi (Cuma ve Pazar portre) tespit edip olasılıkları çarparız.
5
Elde edilen durum sayılarını toplayarak sonuca ulaşalım.
Toplam geçerli plan sayısı: 270 (1 portreli durumlar) + 36 (2 portreli durumlar) = 306 bulunur.
Ayrık durumların sayılarını toplama ilkesiyle birleştirerek genel sonucu elde ederiz.

Anahtar Kavram

Toplama ve çarpma yoluyla sayma kurallarını kısıtlı durumlara uygulama
Soru 18Soru →

Bahar'ın gardırobunda;
* Üst giyim olarak 33 farklı mavi tişört, 22 farklı beyaz tişört ve 22 farklı mavi sweatshirt,
* Alt giyim olarak 33 farklı mavi kot pantolon ve 44 farklı siyah kumaş pantolon
bulunmaktadır.

Bahar, bir üst giyim ve bir alt giyim olmak üzere toplam iki parça kıyafet seçecektir.

Bahar, seçtiği bu iki kıyafetin her ikisinin birden mavi renkli olmasını istemediğine göre, bu seçimi kaç farklı şekilde yapabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 34

Cevap

Bahar, kıyafet seçimini 34 farklı şekilde yapabilir.
Doğru cevap olan 34 sayısı, tüm olası kombinasyonların sayısından (49), hem üst hem de alt kıyafetin mavi olduğu kural dışı durumların sayısının (15) çıkarılmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Gardıroptaki toplam üst ve alt giyim seçenekleri ile mavi renkli olanların sayılarını belirleme.
Toplam üst giyim sayısı: 3+2+2=73 + 2 + 2 = 7 (5 tanesi mavi, 2 tanesi beyaz). Toplam alt giyim sayısı: 3+4=73 + 4 = 7 (3 tanesi mavi, 4 tanesi siyah).
Olası tüm durumları ve kısıtlamaya konu olan mavi kıyafetlerin sayılarını netleştirmek için.
2
Herhangi bir renk kısıtlaması olmadan yapılabilecek tüm kombinasyonların sayısını çarpma kuralıyla hesaplama.
7×7=497 \times 7 = 49 farklı kombinasyon.
Kısıtlamasız tüm durumların kümesini bulup istenmeyen durumları bu kümeden çıkarmak amacıyla.
3
Kurala uymayan, yani hem üst hem de alt giyimin aynı anda mavi olduğu durumların sayısını hesaplama.
Mavi üst seçenekleri (55 adet) ile mavi alt seçeneklerinin (33 adet) çarpımı: 5×3=155 \times 3 = 15 durum.
Renk kısıtlamasını ihlal eden durumları belirleyip tüm durumlardan düşmek için.
4
Tüm durumlardan istenmeyen mavi-mavi kombinasyonlarını çıkararak geçerli durum sayısını bulma.
49−15=3449 - 15 = 34 farklı seçim.
Kısıtlamaya uygun tüm geçerli kombinasyonların sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Toplama ve Çarpma Yoluyla Sayma, İstenmeyen Durumu Çıkarma Yöntemi

Alternatif Yöntem

Bahar'ın kıyafet seçimini üst giyimin rengine göre iki gruba ayırarak da çözebiliriz:
1) Mavi üst giyim seçildiğinde (55 durum): Alt giyimin mavi olmaması gerektiğinden sadece siyah pantolonlar (44 durum) seçilebilir. Buradan 5×4=205 \times 4 = 20 farklı seçim elde edilir.
2) Beyaz üst giyim seçildiğinde (22 durum): Alt giyim için herhangi bir kısıtlama kalmaz ve hepsi (77 durum) seçilebilir. Buradan 2×7=142 \times 7 = 14 farklı seçim elde edilir.
Bu iki ayrı durum toplandığında toplam seçim sayısı 20+14=3420 + 14 = 34 bulunur.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 19Soru →

Bir kitaplıkta bulunan 55 farklı roman ve 33 farklı şiir kitabı arasından; 22 roman ve 11 şiir kitabı seçilecektir. Buna göre, bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 30

Cevap

Kitaplıktan 22 roman ve 11 şiir kitabı 3030 farklı şekilde seçilebilir.
Seçim işlemi sırasız gruplandırma içerdiğinden kombinasyon kullanılır. 55 romandan 22'si (52)=10\binom{5}{2} = 10 yolla, 33 şiir kitabından 11'i ise (31)=3\binom{3}{1} = 3 yolla seçilir. Bu seçimler eş zamanlı yapıldığından çarpım kuralı uygulanarak 10×3=3010 \times 3 = 30 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
55 farklı roman arasından 22 roman seçimi yapılır.
(52)=5!2!⋅3!=10\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10 farklı seçim.
Gruptan sırasız eleman seçmek için kombinasyon kullanılır.
2
33 farklı şiir kitabı arasından 11 şiir kitabı seçimi yapılır.
(31)=3\binom{3}{1} = 3 farklı seçim.
33 elemanlı bir kümeden 11 eleman seçmek için kombinasyon kullanılır.
3
Elde edilen seçimlerin sayıları çarpılır.
10×3=3010 \times 3 = 30 farklı seçim.
Roman ve şiir kitaplarının seçimi eş zamanlı ve birbirine bağlı işlemler olduğundan çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (seçme) ve çarpma yoluyla sayma kuralı.
Soru 20Soru →

Bir hastanede çalışan 55 doktor ve 55 hemşire arasından 55 kişilik bir acil müdahale ekibi oluşturulacaktır. Ekip oluşturulurken aşağıdaki koşullara uyulması gerekmektedir:

* Ekipte en az 22 doktor ve en az 22 hemşire yer almalıdır.
* Doktor Ahmet ile Hemşire Ayşe arasında mesleki bir anlaşmazlık olduğundan, bu iki çalışan aynı ekipte birlikte yer almayacaktır.
* Doktor Burak ile Doktor Cem yakın arkadaş oldukları için, bu iki doktordan biri ekibe seçilecekse diğeri de mutlaka seçilmelidir.

Buna göre, bu acil müdahale ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

60
Doğru cevap 60 olmalıdır. Ekipte en az 22 doktor ve en az 22 hemşire bulunması gerektiğinden, ekipler (22 doktor, 33 hemşire) veya (33 doktor, 22 hemşire) şeklinde oluşturulabilir. Burak ile Cem'in birlikte seçilmesi ya da ikisinin de seçilmemesi durumları ayrı ayrı incelenip Ahmet ile Ayşe'nin aynı anda seçilmeme kısıtı uygulandığında sırasıyla 2828 ve 3232 farklı geçerli ekip kurulabileceği görülür. Bu iki durumun toplamı 6060 farklı seçim seçeneği sunar.

Adım Adım Çözüm

1
Ekip yapısının belirlenmesi
Ekip ya 22 doktor ve 33 hemşireden ya da 33 doktor ve 22 hemşireden oluşmalıdır.
55 kişilik ekipte en az 22 doktor ve en az 22 hemşire bulunması gerektiğinden başka bir dağılım olamaz.
2
22 doktor ve 33 hemşireden oluşan ekiplerin sayısının hesaplanması
Burak ve Cem'in seçildiği durumdan 1010 yol, ikisinin de seçilmediği durumdan ise 1818 yol gelerek toplam 2828 farklı seçim bulunur.
Burak ve Cem'in seçilip seçilmeme durumlarına göre Ahmet-Ayşe kısıtlaması dikkate alınarak alt durumlar toplanır.
3
33 doktor ve 22 hemşireden oluşan ekiplerin sayısının hesaplanması
Burak ve Cem'in seçildiği durumdan 2626 yol, ikisinin de seçilmediği durumdan ise 66 yol gelerek toplam 3232 farklı seçim bulunur.
Burak ve Cem'in birlikte seçildiği ve seçilmediği durumlar ayrı ayrı incelenip Ahmet-Ayşe kısıtlaması uygulanır.
4
Toplam ekip sayısının bulunması
Toplam ekip sayısı 28+32=6028 + 32 = 60 olarak bulunur.
İki farklı ekip yapısının kombinasyonları toplama yoluyla sayma kuralı gereğince toplanır.

Anahtar Kavram

Kombinasyon hesaplamalarında koşullu grup seçimi ve durum analizi
Sayfa 1 / 5Sonraki