Examkin

Soru

Zorluk: ZorRutin Olmayan Problemler

Bir torbada üzerinde 11'den 1010'a kadar olan tam sayıların yazılı olduğu 1010 adet top bulunmaktadır. İki oyuncunun sırayla torbadan top çekerek oynadığı bir oyunda kurallar şu şekildedir:

* Başlangıçta birinci oyuncu bir top, ardından ikinci oyuncu bir top çeker.
* Daha sonra her oyuncu sırayla ikişer top daha çeker ve torbada 44 top kalacak şekilde oyun sonlandırılır.
* Her oyuncunun elindeki 33 topun üzerinde yazan sayıların toplamı o oyuncunun puanını belirler.
* Puanı daha yüksek olan oyuncu oyunu kazanır.

Bu oyunda birinci oyuncu ilk çekilişte 77, ikinci oyuncu ise 44 numaralı topu çekmiştir.

Buna göre, birinci oyuncunun oyunu kesinlikle kazanmayı garantilemesi için kalan çekilişlerinde çekeceği iki topun numaraları toplamı en az kaç olmalıdır?

Cevap: 15

Cevap

Birinci oyuncunun oyunu kesinlikle kazanmayı garantilemesi için kalan çekilişlerde çekeceği iki topun numaraları toplamı en az 15 olmalıdır.
Birinci oyuncunun başlangıçta 7, ikinci oyuncunun 4 puanı vardır. Birinci oyuncu sonraki iki topla 15 toplamını elde ettiğinde (örneğin 10 ve 5 seçerek), kalan kümedeki en büyük iki top 9 ve 8 olur. İkinci oyuncu bu en büyük topları alsa bile toplam puanı 4 + 9 + 8 = 21 olur. Birinci oyuncunun puanı ise 7 + 10 + 5 = 22 olur ve oyunu kazanır. 15'ten daha küçük toplamlar için (örneğin 14) ikinci oyuncunun daha büyük puan alarak kazanması veya berabere kalması önlenemez.

Adım Adım Çözüm

1
İlk çekilen topları belirleyerek geriye kalan topların kümesini oluşturmak.
Geriye kalan topların kümesi U={1,2,3,5,6,8,9,10}U = \{1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10\} olarak bulunur.
Oyunun ilerleyen aşamalarında ��ekilebilecek olası topları doğru tespit etmek için.
2
Birinci oyuncunun kazanma koşulunu veren eşitsizliği kurmak.
Birinci oyuncunun çekeceği iki topun toplamı S1S_1, ikinci oyuncununki S2S_2 ise S1≥S2−2S_1 \geq S_2 - 2 olmalıdır.
Birinci oyuncunun puanının (7+S17 + S_1), ikinci oyuncunun puanından (4+S24 + S_2) kesinlikle büyük olması gerektiğini matematiksel olarak ifade etmek için.
3
İkinci oyuncunun kalan toplarla elde edebileceği en büyük toplamı (S2,maksS_{2,\text{maks}}) analiz etmek.
Seçilen S1S_1 çiftine göre değişen S2,maksS_{2,\text{maks}} değerini bulup S1≥S2,maks−2S_1 \geq S_{2,\text{maks}} - 2 eşitsizliğini kontrol etmek.
Kazanmanın kesinlikle garantilenmesi için ikinci oyuncunun yapabileceği en avantajlı hamleye karşı bile üstünlük sağlanması gerektiğini belirlemek için.
4
Farklı S1S_1 toplamları için en küçük uygun değeri denemek.
Birinci oyuncu {10,5}\{10, 5\} çiftini seçtiğinde S1=15S_1 = 15 olur. Kalanlar arasından ikinci oyuncunun en büyük toplamı 9+8=179 + 8 = 17 olur ve 15≥17−215 \geq 17 - 2 eşitsizliği sağlanır.
Koşulu sağlayan en küçük toplamın 1515 olduğunu göstermek için.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik kurma, en kötü durum analizi (pigeonhole benzeri garantileme mantığı) ve küme elemanları seçimiyle optimizasyon.
Bu soruyu puanla

Konular

Rutin Olmayan Problemler

Bu konudan daha fazla soru